Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Pozitif Tam Sayılarda Çarpan ve Kat İlişkisi

   Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölebilen her pozitif tam sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Bir tam sayının çarpanı ile böleni tamamen aynı anlama gelir.

   Bir tam sayının pozitif bir tam sayı ile çarpılması sonucu elde edilen sayılara ise o sayının katları adı verilir.

   • Örneğin, 24 sayısı incelendiğinde: $24 = 1 \cdot 24 = 2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6$ eşitlikleri yazılabilir.
   • Buna göre 24 sayısının pozitif çarpanları kümesi $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ elemanlarından oluşur.
   • 24 sayısı, bu kümedeki her bir elemanın bir tam katıdır.

   Aritmetiğin Temel Teoremi

   Yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. 2 sayısı, çift olan tek asal sayıdır.

   Aritmetiğin Temel Teoremi: 1'den büyük her tam sayı, asal sayıların çarpımı biçiminde tek bir şekilde (çarpanların sırası gözetilmeksizin) yazılabilir.

   Bir $A$ pozitif tam sayısı, farklı asal çarpanları $p_1, p_2, \dots, p_k$ ve pozitif tam sayı üsleri $a_1, a_2, \dots, a_k$ olmak üzere canonical (standart) formda şu şekilde ifade edilir:

   $$A = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$$

   Bu gösterim kullanılarak $A$ sayısının pozitif bölen sayısı şu formülle hesaplanır:

   $$\text{PBS}(A) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1)$$

   En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

   İki ya da daha fazla pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve $\text{EBOB}(a, b)$ biçiminde gösterilir.

   Hesaplama Yöntemi

   Sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında, ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı bu sayıların EBOB'unu verir.

   • Birden başka pozitif ortak böleni olmayan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
   • $a$ ve $b$ aralarında asal ise $\text{EBOB}(a, b) = 1$ olur.
   • $a$ sayısı $b$ sayısının bir tam katı ise ($b \mid a$), bu durumda $\text{EBOB}(a, b) = b$ eşitliği geçerlidir.

   En Küçük Ortak Kat (EKOK)

   İki ya da daha fazla pozitif tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir ve $\text{EKOK}(a, b)$ biçiminde gösterilir.

   Hesaplama Yöntemi

   Sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında, ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan tüm asal çarpanların çarpımı bu sayıların EKOK'unu verir.

   Temel Bağıntı

   Herhangi iki $a$ ve $b$ pozitif tam sayısı için iki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına daima eşittir:

   $$a \cdot b = \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b)$$

   Eğer $a$ ve $b$ aralarında asal iki sayı ise, $\text{EBOB}(a, b) = 1$ olduğundan doğrudan $\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b$ bağıntısı elde edilir.