Basit Olayların Olma Olasılığı Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Olasılığa Giriş

   Bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamadan önce sürecin temel yapı taşlarını doğru tanımlamak gerekir:

   • Deney: Sonucunun ne olacağı önceden kesin olarak bilinemeyen, belirli koşullar altında tekrarlanabilen eylemlerdir. Örneğin bir madenî paranın havaya atılması veya bir zarın atılması birer deneydir.
   • Çıktı: Bir deneyde elde edilebilecek sonuçların her birine denir. Örneğin bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarının her biri birer çıktıdır.
   • Örnek Uzay: Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktıların oluşturduğu kümeye denir ve genellikle E harfi ile gösterilir. Bir zar atma deneyinde örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olup eleman sayısı s(E) = 6 olur.
   • Olay: Örnek uzayın herhangi bir alt kümesidir. Örneğin zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi olayı A = {2, 4, 6} kümesi ile ifade edilir.

   Eş Olasılıklı Durumlar ve Temel Formül

   Bir deneyde her bir çıktının gerçekleşme şansı birbirine eşit ise bu çıktılara eş olasılıklı çıktılar denir.

   Eş olasılıklı bir örnek uzayda bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) sembolü ile gösterilir ve şu şekilde hesaplanır:

   P(A) = (İstenen Durumların Sayısı) / (Tüm Olası Durumların Sayısı) = s(A) / s(E)

   Örneğin hilesiz bir zar atıldığında üst yüze asal sayı gelme olasılığını hesaplayalım:

   • Örnek uzay: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve s(E) = 6
   • İstenen olay (asal sayılar): A = {2, 3, 5} ve s(A) = 3
   • Olasılık: P(A) = 3 / 6 = 1 / 2

   Olasılık Aralığı

   Bir olayın gerçekleşme olasılığı her zaman 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dâhil) bir değer alır. Bir A olayı için bu durum eşitsizlikle ifade edilir:

   0 ≤ P(A) ≤ 1

   Özel Durumlar

   • İmkânsız Olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara denir. Boş küme ile temsil edilir ve olasılığı 0'dır. Örneğin standart bir zar atıldığında üst yüze 7 gelmesi imkânsız olaydır.
   • Kesin Olay: Deney sonucunda mutlaka gerçekleşecek olaylara denir. Örnek uzayın kendisine eşittir ve olasılığı 1'dir. Örneğin bir zar atıldığında üst yüze 7'den küçük bir doğal sayı gelmesi kesin olaydır.
   • Tümleyen Olay: Bir A olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A') ile gösterilir. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı daima 1'dir: P(A) + P(A') = 1.

   Örnek Soru İncelemesi

   Bir torbada aynı büyüklükte 4 kırmızı, 5 mavi ve 3 sarı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı olmama olasılığını bulalım.

   Çözüm Adımları

   1. Tüm olası durumların sayısını belirleme:
      Toplam bilye sayısı = 4 + 5 + 3 = 12, yani s(E) = 12.
   2. İstenen durum sayısını belirleme:
      Bilyenin sarı olmaması, kırmızı veya mavi olması demektir. İstenen durum sayısı = 4 + 5 = 9.
   3. Olasılık değerini hesaplama:
      P(Sarı Değil) = 9 / 12 = 3 / 4.
   4. Alternatif Yol (Tümleyen Yardımıyla):
      Sarı gelme olasılığı P(Sarı) = 3 / 12 = 1 / 4 olur. Sarı gelmeme olasılığı 1 - (1 / 4) = 3 / 4 olarak bulunur.