Noktanın Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Dik Koordinat Sistemi

   Düzlemde birbiriyle dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi denir. Yatay olan sayı doğrusuna x ekseni (apsisler ekseni), düşey olan sayı doğrusuna ise y ekseni (ordinatlar ekseni) adı verilir. Eksenlerin kesiştiği nokta ise başlangıç noktası (orijin) olup $O(0, 0)$ ile gösterilir.

   Düzlemde Nokta ve Bölgeler

   Düzlemdeki her $P$ noktası, sıralı bir reel sayı ikilisi olan $P(x, y)$ ile temsil edilir. Burada $x$ apsis, $y$ ordinattır. Eksenler düzlemi dört ana bölgeye ayırır:

   • 1. Bölge: $x > 0$ ve $y > 0$
   • 2. Bölge: $x < 0$ ve $y > 0$
   • 3. Bölge: $x < 0$ ve $y < 0$
   • 4. Bölge: $x > 0$ ve $y < 0$

   Eksenler üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir. $x$ ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfır ($A(x, 0)$), $y$ ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfırdır ($B(0, y)$).

   İki Nokta Arasındaki Uzaklık Bağıntısı

   Analitik düzlemde verilen $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi uygulanarak elde edilir.

   Apsisler farkı $|x_2 - x_1|$ yatay dik kenarı, ordinatlar farkı $|y_2 - y_1|$ düşey dik kenarı oluşturur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık formülü:

   $$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

   Önemli Özellikler

   • Bir noktanın orijine olan uzaklığı: $A(x, y)$ için $|OA| = \sqrt{x^2 + y^2}$ bağıntısıyla hesaplanır.
   • Noktaların eksenlere olan uzaklıkları mutlak değerce belirlenir: $P(a, b)$ noktasının $x$ eksenine uzaklığı $|b|$, $y$ eksenine uzaklığı ise $|a|$ birimdir.

   Orta Nokta ve Orantılı Bölme

   Bir doğru parçasının uç noktaları $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ olsun.

   1. Orta Noktanın Koordinatları

   $[AB]$ doğru parçasının orta noktası $C(x_0, y_0)$ olmak üzere:

   $$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

   2. Doğru Parçasını İçten ve Dıştan Bölme

   $C$ noktası $[AB]$ doğru parçasını $\frac{|CA|}{|CB|} = k$ oranında bölüyorsa, koordinatlardaki artış ya da azalış miktarları doğru parçasının uzunluk oranlarıyla orantılıdır.

   • İçten Bölme: $C$ noktası $[AB]$ üzerinde yer alır. Apsis ve ordinatlar başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru doğrusal olarak değişir.
   • Dıştan Bölme: $C$ noktası $[AB]$ doğru parçasının dışında, bu parçayı taşıyan doğru üzerindedir. Oran bağıntısı aynı doğrultu boyunca korunur.

   Ağırlık Merkezi Koordinatları

   Köşe koordinatları $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ve $C(x_3, y_3)$ olan bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G(x_0, y_0)$, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:

   $$x_0 = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$$

   Köşe Koordinatları Verilen Üçgenin Alanı

   Köşe koordinatları bilinen $ABC$ üçgeninin alanı determinant yardımıyla doğrudan hesaplanabilir:

   $$\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

   Eğer hesaplanan alan sıfıra eşit çıkarsa, verilen üç nokta doğrusal (aynı doğru üzerinde) demektir.