Üçgende Kenarortay Teoremleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Kenarortay ve Temel Özellikleri

   Bir üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. $a$, $b$ ve $c$ kenarlarına ait kenarortaylar sırasıyla $V_a$, $V_b$ ve $V_c$ ile gösterilir.

   Ağırlık Merkezi ($G$)

   Bir üçgende üç kenarortay tek bir noktada kesişir. Bu kesişim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle $G$ harfiyle sembolize edilir. Ağırlık merkezinin başlıca özellikleri şunlardır:

   • Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı köşeden kenara doğru $2:1$ oranında böler:
     $$|AG| = 2|GD| = \frac{2}{3}V_a$$
   • Ağırlık merkezini köşelere birleştiren doğru parçaları, üçgenin alanını 3 eşit parçaya böler.
   • Üç kenarortayın tamamı çizildiğinde üçgenin alanı 6 eşit alana ayrılır.

   Kenarortay Bağıntısı (Apollonius Teoremi)

   Bir $ABC$ üçgeninde bir kenara ait kenarortay uzunluğu ile üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişki Apollonius Teoremi ile ifade edilir.

   $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ ve $BC$ kenarına ait kenarortay $V_a$ olmak üzere:

   $$2V_a^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2$$

   Teoremin İspat Mantığı

   Bu bağıntı, tabandaki açıların bütünler olmasından yararlanılarak uygulanan Stewart Teoremi veya kenarortayın oluşturduğu iki üçgende yazılan Kosinüs Teoremi yardımıyla elde edilir:

   1. $D$ noktası $BC$ kenarının orta noktası kabul edilir ($|BD| = |DC| = \frac{a}{2}$).
   2. $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinde sırasıyla $D$ açısına göre Kosinüs Teoremi yazılır.
   3. $\cos(\widehat{ADB}) = -\cos(\widehat{ADC})$ özdeşliği kullanılarak eşitlikler taraf tarafa toplandığında aranan bağıntıya ulaşılır.

   Toplam Kareler Bağıntısı

   Üçgenin her üç kenarına ait kenarortay denklemleri taraf tarafa toplandığında kenarlar ile kenarortaylar arasında genel bir eşitlik elde edilir:

   $$2V_a^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2$$

   Aynı bağıntılar $V_b$ ve $V_c$ için de yazılıp üç denklem toplandığında:

   $$4\left(V_a^2 + V_b^2 + V_c^2\right) = 3\left(a^2 + b^2 + c^2\right)$$

   Dik Kesişen Kenarortaylar Teoremi

   Bir üçgende iki kenarortay birbirine dik kesişebilir. Örneğin, $V_b \perp V_c$ ise:

   • Ağırlık merkezinde dik üçgen özellikleri ve Pisagor bağıntısı kullanılır.
   • Bu özel durumda kenarlar arasında doğrudan şu bağıntı geçerlidir:
     $$b^2 + c^2 = 5a^2$$
   • Benzer biçimde bu kenarlara ait kenarortay uzunlukları arasında da $V_b^2 + V_c^2 = V_a^2$ eşitliği sağlanır.

   Örnek Problem

   Bir $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $a = 6\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$ ve $c = 9\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bu üçgende $a$ kenarına ait kenarortayın uzunluğu ($V_a$) kaç cm'dir?

   Çözüm Adımları

   1. Kuralı Belirleme: Apollonius teoremini yazalım:
      $$2V_a^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2$$
   2. Değerleri Yerine Koyma: Verilen değerleri bağıntıya yerleştirelim:
      $$2V_a^2 + \frac{6^2}{2} = 7^2 + 9^2$$
   3. Cebirsel Sadeleştirme:
      $$2V_a^2 + \frac{36}{2} = 49 + 81$$
      $$2V_a^2 + 18 = 130$$
      $$2V_a^2 = 112 \implies V_a^2 = 56$$
   4. Sonuç: Karekök alındığında kenarortay uzunluğu $V_a = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\text{ cm}$ bulunur.