Üçgende Açıortay Teoremleri Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. İç Açıortay Teoremi ve Geometrik Yorumu

   Bir üçgende bir açıya ait iç açıortay, karşısındaki kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.

   ABC üçgeninde A köşesine ait [AN] iç açıortayı [BC] kenarını N noktasında kessin. Bu durumda kenar uzunlukları arasında şu temel bağıntı geçerlidir:

   $$\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BN|}{|NC|}$$

   Teoremin temel sonuçları şunlardır:

   • Kenarlar arasındaki oran, tabanda bölünen parçaların oranına doğrudan eşitlenir. Örneğin |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm ise, |BN| = 3k ve |NC| = 4k olarak ifade edilir.
   • Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Bu dikmeler kollar üzerinde eşit uzunlukta parçalar ayırır.
   • Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

   Dış Açıortay Teoremi

   Bir üçgende herhangi bir dış açının açıortayı, karşı kenarın uzantısını dıştan böler.

   ABC üçgeninde A köşesine ait dış açıortay, [BC] kenarının C tarafındaki uzantısını D noktasında kessin. Bu durumda teoremin ifadesi şöyledir:

   $$\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|}$$

   Dikkat edilmesi gereken başlıca unsurlar:

   • Oran yazılırken açıortayın taban doğrusunu kestiği D noktası referans alınır: D noktasının B köşesine uzaklığının C köşesine uzaklığına oranı, [AB] kenarının [AC] kenarına oranını verir.
   • |AB| = |AC| durumunda (ikizkenar üçgende tepe dış açıortayı), dış açıortay taban doğrusuna paralel olduğundan tabanı kesmez.
   • İki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu nokta ilgili köşenin dış teğet çemberinin merkezidir.

   Açıortayların Uzunluklarının Hesaplanması

   Açıortay uzunlukları, kenar ve bölünen parça ilişkileri üzerinden hesaplanabilir.

   1. İç Açıortay Uzunluğu

   ABC üçgeninde [AN] iç açıortayının uzunluğu $n_A$ olmak üzere:

   $$n_A^2 = |AB| \cdot |AC| - |BN| \cdot |NC|$$

   Yani iç açıortayın karesi, yan kenarların çarpımı ile tabanda ayrılan parçaların çarpımının farkına eşittir.

   2. Dış Açıortay Uzunluğu

   A köşesine ait [AD] dış açıortayının uzunluğu $n'_A$ olmak üzere:

   $$(n'_A)^2 = |BD| \cdot |CD| - |AB| \cdot |AC|$$

   Burada sıralama tersine döner: D noktasının köşelere olan uzaklıkları çarpımından, üçgenin yan kenarlarının çarpımı çıkarılır.

   Açıortaylar Arasındaki Açı Özellikleri

   Açıortayların oluşturduğu açılar, üçgenin tepe açısı cinsinden doğrudan ifade edilebilir:

   • İki İç Açıortay Arasındaki Açı: B ve C köşelerine ait iç açıortayların kesim noktası I ise:
     $$m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{A})}{2}$$
   • İki Dış Açıortay Arasındaki Açı: B ve C köşelerine ait dış açıortayların kesim noktası D ise:
     $$m(\widehat{BDC}) = 90^\circ - \frac{m(\widehat{A})}{2}$$
   • Bir İç ve Bir Dış Açıortay Arasındaki Açı: B köşesinin iç açıortayı ile C köşesinin dış açıortayı E noktasında kesişiyorsa:
     $$m(\widehat{BEC}) = \frac{m(\widehat{A})}{2}$$
   • Bir köşeye ait iç açıortay ile dış açıortay birbirine her zaman diktir (aralarındaki açı $90^\circ$ dir).