Çokgenler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Çokgenin Tanımı

   Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan en az üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. Bir çokgeni oluşturan doğru parçalarına kenar, kenarların birleşim noktalarına ise köşe adı verilir.

   Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler

   İç bölgesindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu çokgene dışbükey (konveks) çokgen denir. En az bir iç açısı 180 dereceden büyük olan veya bazı iç noktalarını birleştiren doğru parçası şeklin dışına taşan çokgenler ise içbükey (konkav) olarak adlandırılır.

   İç ve Dış Açı Özellikleri

   Kenar sayısı n olan bir konveks çokgen için temel bağıntılar şu şekildedir:

   • İç açılarının ölçüleri toplamı: $(n - 2) \cdot 180^\circ$ bağıntısı ile hesaplanır.
   • Bütün konveks çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı kenar sayısından bağımsız olarak daima 360 derecedir.
   • Bir köşeye ait iç açı ile dış açının toplamı daima bütünlerdir ($180^\circ$).

   Köşegen Bağıntıları

   Bir köşeden çizilen köşegen sayısı $n - 3$ tanedir. Bu köşegenler çokgeni $n - 2$ adet üçgensel bölgeye ayırır. Bir çokgenin toplam köşegen sayısı ise $\frac{n(n - 3)}{2}$ formülü ile bulunur.

   Düzgün Çokgen Nedir?

   Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ve tüm iç açılarının ölçüleri eş olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Eşkenar üçgen ve kare en temel düzgün çokgen örnekleridir.

   Düzgün Çokgenlerin Açı ve Alan Hesaplamaları

   • Bir dış açısının ölçüsü: $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$
   • Bir iç açısının ölçüsü: $180^\circ - \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$
   • Çevrel çemberinin yarıçapı R olan düzgün bir n-genin alanı: $A = \frac{1}{2} \cdot n \cdot R^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$
   • İç teğet çemberinin yarıçapı r ve çevresi Ç olan düzgün bir çokgenin alanı: $A = \frac{Ç \cdot r}{2}$