Polinomlar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Polinomun Tanımı

   Bir veya daha fazla değişken içeren, değişkenlerinin üsleri doğal sayı ve katsayıları gerçel (veya karmaşık) sayı olan cebirsel ifadelere polinom (çok terimli) denir.

   Tek değişkenli bir gerçel katsayılı polinom genel olarak şu biçimde ifade edilir:

   $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

   Burada;

   • $n \in \mathbb{N}$ (üssün doğal sayı olması zorunludur),
   • $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 \in \mathbb{R}$ ifadelerine polinomun katsayıları,
   • $a_k x^k$ ifadelerinin her birine polinomun terimleri denir.

   Temel Bileşenler

   • Derece: Değişkenin en büyük üssüne polinomun derecesi denir ve $\operatorname{der}[P(x)]$ veya $\deg(P)$ ile gösterilir. $a_n \neq 0$ olmak üzere $\operatorname{der}[P(x)] = n$'dir.
   • Başkatsayı: Dereceyi belirleyen en büyük dereceli terimin katsayısı olan $a_n$ değeridir.
   • Sabit Terim: Değişken içermeyen terimdir (yani $x^0$'ın katsayısı $a_0$). Polinomda $x = 0$ yazılarak bulunur: $P(0) = a_0$.
   • Katsayılar Toplamı: Değişken yerine $1$ yazılarak elde edilir: $P(1) = a_n + a_{n-1} + \dots + a_0$.

   Toplama ve Çıkarma

   İki polinom toplanırken veya çıkarılırken yalnızca dereceleri aynı olan benzer terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

   Çarpma İşlemi

   İki polinom çarpılırken birinci polinomun her bir terimi, ikinci polinomun her bir terimi ile dağılma özelliği kullanılarak çarpılır ve elde edilen benzer terimler bir araya getirilir.

   İşlemlerde Derece Özellikleri

   $\operatorname{der}[P(x)] = m$ ve $\operatorname{der}[Q(x)] = n$ olmak üzere ($m > n > 0$):

   • $\operatorname{der}[P(x) \pm Q(x)] = m$
   • $\operatorname{der}[P(x) \cdot Q(x)] = m + n$
   • $\operatorname{der}\left[\frac{P(x)}{Q(x)}\right] = m - n$ (tam bölünebilme durumunda)
   • $\operatorname{der}[P(x^k)] = k \cdot m$ ($k \in \mathbb{N}^+$)
   • $\operatorname{der}[(P(x))^k] = k \cdot m$ ($k \in \mathbb{N}^+$)

   Bölme Algoritması

   $P(x)$ ve $Q(x)$ iki polinom ve $Q(x) \neq 0$ olsun. $P(x)$'in $Q(x)$ ile bölünmesi durumunda;

   $$P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)$$

   eşitliğini sağlayan tekil $B(x)$ (bölüm) ve $K(x)$ (kalan) polinomları vardır. Bu bölme işleminde temel kural:

   $$\operatorname{der}[K(x)] < \operatorname{der}[Q(x)] \quad \text{veya} \quad K(x) = 0$$

   Kalan Teoremi

   Bir $P(x)$ polinomunun $(x - a)$ doğrusal terimi ile bölümünden kalan, bölen sıfıra eşitlenerek bulunur:

   $x - a = 0 \implies x = a$ olduğundan kalan $K = P(a)$'dır.

   Özel Durumlar

   • $P(x)$ polinomunun $(ax + b)$ ile bölümünden kalan: $P\left(-\frac{b}{a}\right)$
   • $P(x)$ polinomunun $(x^n - a)$ ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda $x^n$ görülen yerlere $a$ yazılır.
   • $K(x) = 0$ ise $P(x)$, bölen polinoma tam bölünür veya bölen polinom $P(x)$'in bir çarpanıdır.

   Kök Kavramı

   $P(x)$ polinomu için $P(r) = 0$ eşitliğini sağlayan $r$ gerçel veya karmaşık sayısına polinomun kökü (sıfırı) denir.

   Çarpan Teoremi

   Bir $r$ sayısı $P(x)$ polinomunun kökü ise, $(x - r)$ ifadesi $P(x)$'in bir çarpanıdır. Yani $P(x) = (x - r) \cdot Q(x)$ biçiminde yazılabilir.

   Cebirin Temel Teoremi

   Karmaşık katsayılı ve derecesi $n \ge 1$ olan her polinomun, katlı kökler dikkate alınmak şartıyla karmaşık sayılar kümesinde tam olarak $n$ adet kökü vardır.

   Önemli Teoremler

   • Rasyonel Kök Teoremi: Tam sayı katsayılı bir polinomda olası rasyonel kökler $\frac{p}{q}$ biçimindedir; burada $p$ sabit terimin bir böleni, $q$ ise başkatsayının bir bölenidir.
   • Eşlenik Kök Teoremi: Gerçel katsayılı bir polinomda $a + bi$ karmaşık sayısı bir kök ise, eşleniği olan $a - bi$ sayısı da zorunlu olarak bir köktür.