Basit Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Gerçel Sayılarda Sıralama ve Eşitsizlik

   Gerçel sayılar kümesinde büyüklük ve küçüklük ilişkileri $<$, $\le$, $>$ ve $\ge$ sembolleriyle ifade edilir.

   Temel Özellikler

   • Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı gerçel sayı eklenirse veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizliğin yönü değişmez.
   • $a < b$ ise her $c \in \mathbb{R}$ için $a + c < b + c$ ve $a - c < b - c$ olur.
   • Geçişme özelliği: $a < b$ ve $b < c$ ise $a < c$ geçerlidir.

   Eşitsizliklerde Çarpma ve Bölme İşlemi

   Bir eşitsizliğin her iki tarafı bir sayı ile çarpıldığında ya da bölündüğünde, sayının işareti eşitsizliğin yönünü belirler.

   • Pozitif Sayı ile İşlem: $c > 0$ olmak üzere, $a < b$ ise $a \cdot c < b \cdot c$ ve $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ olur. Eşitsizlik yön değiştirmez.
   • Negatif Sayı ile İşlem: $c < 0$ olmak üzere, $a < b$ ise $a \cdot c > b \cdot c$ ve $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ olur. Eşitsizlik mutlaka yön değiştirir.

   Önemli Uyarı: İşareti bilinmeyen bir bilinmeyenle (örneğin $x$) bir eşitsizliğin her iki tarafı genişletilemez veya sadeleştirilemez; aksi durumda yönün değişip değişmeyeceği bilinemez.

   Eşitsizliklerin Birleştirilmesi

   Taraf Tarafa Toplama

   Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir:

   $a < b$ ve $c < d$ ise $a + c < b + d$ olur.

   Dikkat: Eşitsizlikler taraf tarafa çıkarılamaz. Çıkarma işlemi için çıkarılacak ifade önce $-1$ ile çarpılıp yönü ayarlanır, ardından toplama yapılır.

   Taraf Tarafa Çarpma

   Taraf tarafa çarpma yapılabilmesi için eşitsizliklerin tüm sınırlarının pozitif olması gerekir:

   $0 < a < b$ ve $0 < c < d$ ise $a \cdot c < b \cdot d$ sağlanır.

   Sınırların işaretleri farklı veya negatif olduğunda çarpımın alabileceği en küçük ve en büyük değerler, tüm sınırların birbiriyle çarpımı tek tek hesaplanarak belirlenir.

   Üs Alma ve Basit Kesir Özellikleri

   Aralıkların Kuvvetini Alma

   • $0 < a < x < b$ iken pozitif tam sayı kuvvetlerinde: $a^n < x^n < b^n$ korunur.
   • Sınırlar negatif ise çift kuvvet alındığında eşitsizlik yön değiştirir: $-4 < x < -2 \implies 4 < x^2 < 16$.
   • Aralık sıfırı kapsıyorsa (örneğin $-3 < x < 5$), çift kuvvetin en küçük değeri daima sıfır veya sıfırdan büyük olur: $0 \le x^2 < 25$.

   Çarpmaya Göre Tersini Alma

   Aynı işaretli sayılarda çarpmaya göre ters alındığında eşitsizlik yön değiştirir:

   $a$ ve $b$ aynı işaretli olmak üzere, $a < b \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ olur.