Temel Kavramlar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Rakam ve Sayı Tanımı

   Matematikte nicelikleri ifade etmek ve cebirsel modeller kurmak için belirli simgeler kullanılır.

   • Rakam: Sayıları yazılı olarak göstermek için kullanılan temel sembollerdir. Onluk sayma sisteminde rakamlar kümesi 10 elemandan oluşur: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
   • Sayı: Bir çokluğu belirtmek amacıyla bir veya birden fazla rakamın bir araya getirilmesiyle ya da tek bir rakamla oluşturulan cebirsel ifadedir. Her rakam aynı zamanda bir sayıdır; ancak her sayı bir rakam değildir.

   Sayı Kümeleri ve Hiyerarşik Yapı

   Sayılar, cebirsel kapalılık ve kullanım alanlarına göre aşamalı kümeler halinde yapılandırılır:

   • Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$ kümesidir.
   • Sayma Sayıları ($\mathbb{N}^+$): Sıfır hariç pozitif doğal sayılardır: $\{1, 2, 3, \dots\}$.
   • Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıların birleşimidir: $\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+$.
   • Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a, b \in \mathbb{Z}$ ve $b \neq 0$ şartıyla $\frac{a}{b}$ kesri biçiminde yazılabilen sayılardır.
   • İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}'$): İki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan, virgülden sonra devirsiz sonsuza uzanan sayılardır (örneğin $\sqrt{2}, \pi, e$).
   • Gerçel (Reel) Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin birleşimidir: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$.

   Kümeler arasındaki temel kapsama bağıntısı: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ biçimindedir.

   Temel Cebirsel Özellikler

   1. Tek ve Çift Tam Sayılar

   $n \in \mathbb{Z}$ olmak üzere, $2n$ formundaki sayılar çift, $2n-1$ formundaki sayılar tek sayıdır. Teklik-çiftlik incelemesi yalnızca tam sayılarda geçerlidir.

   • Tek $\pm$ Tek = Çift
   • Tek $\pm$ Çift = Tek
   • Çift $\pm$ Çift = Çift
   • Tek $\times$ Tek = Tek
   • Tek $\times$ Çift = Çift
   • Çift $\times$ Çift = Çift

   2. Pozitif ve Negatif Sayılar

   Sayı doğrusunda sıfırın sağında yer alan sayılar pozitif ($x > 0$), solunda yer alan sayılar negatif ($x < 0$) sayılardır. Sıfır sayısının işareti yoktur (nötrdür). Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, zıt işaretli iki sayının çarpımı negatiftir.

   Asallık İlişkisi

   Asal Sayılar

   1'den büyük, kendisinden ve 1'den başka pozitif tam sayı böleni bulunmayan doğal sayılara asal sayı denir.

   • En küçük asal sayı 2'dir ve 2 haricindeki tüm asal sayılar tek sayıdır.
   • Asal sayılar dizisi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots şeklinde devam eder.

   Aralarında Asal Sayılar

   Birden başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan tam sayılara aralarında asal sayılar denir. Sayıların aralarında asal olması için bağımsız olarak asal olmaları zorunlu değildir. Örneğin 8 ve 9 asal sayı değildir; ancak ortak pozitif bölenleri yalnız 1 olduğu için aralarında asaldır.