Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Rasyonel Sayı Kavramı

   Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesi kullanılarak oluşturulan denklik sınıfları ile tanımlanır. $a$ ve $b$ birer tam sayı olmak üzere, $b \neq 0$ koşuluyla $\frac{a}{b}$ biçiminde ifade edilebilen tüm sayılara rasyonel sayı denir. Bu küme $\mathbb{Q}$ sembolü ile gösterilir:

   $$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z} \text{ ve } b \neq 0 \right\}$$

   Burada $a$ kesrin payı, $b$ ise paydası olarak adlandırılır. Paydanın sıfır olamaması, sıfıra bölme işleminin tanımsız olmasından kaynaklanır.

   Rasyonel Sayılarda Eşitlik İlkesi

   İki rasyonel sayının birbirine eşit olması, aralarındaki içler-dışlar çarpımı ilişkisiyle belirlenir. $b, d \neq 0$ olmak üzere:

   $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$

   Bu kural gereğince bir rasyonel sayının payı ve paydası sıfırdan farklı bir $k \in \mathbb{Z}$ tam sayısı ile çarpıldığında veya bölündüğünde temsil ettiği değer değişmez:

   • Genişletme: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$
   • Sadeleştirme: $\operatorname{EBOB}(a, b) = 1$ olacak şekilde pay ve payda ortak bölenlerine bölünerek kesir en sade biçimine getirilir.

   Toplama ve Çarpma İşlemleri

   Rasyonel sayılar kümesi üzerinde dört temel işlem aşağıdaki aksiyomlar çerçevesinde yürütülür:

   • Toplama: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}$
   • Çıkarma: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$
   • Çarpma: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
   • Bölme: $c \neq 0$ olmak üzere, $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

   $\mathbb{Q}$ kümesi, bu işlemler altında bir cisim (field) yapısı oluşturur. Toplama ve çarpmanın değişme, birleşme ve dağılma özellikleri sağlanır; toplamanın etkisiz elemanı $0$, çarpmanın etkisiz elemanı ise $1$'dir.

   Rasyonel Sayıların Yoğunluğu

   Pozitif paydalara sahip rasyonel sayılarda sıralama, paydaların eşitlenmesi veya çapraz çarpım ile belirlenir. $b, d > 0$ olduğunda:

   $$\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \cdot d < b \cdot c$$

   Yoğunluk (Density) İlkesi: Herhangi iki farklı rasyonel sayı $x, y \in \mathbb{Q}$ ($x < y$) arasında daima en az bir rasyonel sayı bulunur. Örneğin, bu iki sayının aritmetik ortalaması olan

   $$m = \frac{x + y}{2}$$

   sayısı da bir rasyonel sayıdır ve $x < m < y$ eşitsizliğini sağlar. Bu durum ardışık iki rasyonel sayı kavramının var olmadığını gösterir.