Binom ve Olasılık Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Binom Açılımı

   İki terimli bir cebirsel ifadenin pozitif tam sayı kuvvetlerinin açılımı binom teoremi ile modellenir. Pozitif bir n tam sayısı için iki terimli açılım şu kurala dayanır:

   $$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

   Bu açılımın temel özellikleri şunlardır:

   • Açılımda toplam n + 1 adet terim bulunur.
   • Baştan (r + 1). terim genel terim formülü ile bulunur: $T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} y^r$
   • Her terimdeki üslerin toplamı daima n değerine eşittir.
   • Katsayılar toplamını elde etmek için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.

   Bernoulli Süreci

   Her adımında yalnızca iki olası sonucun (başarı veya başarısızlık) bulunduğu ve başarı olasılığının denemeden denemeye değişmediği bağımsız süreçlere Bernoulli denemesi denir.

   Bir denemedeki başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı ise q = 1 - p olsun. Bu deney birbirinden bağımsız olarak n kez tekrarlandığında, tam olarak k defa başarı elde edilme senaryoları binom katsayıları ile belirlenir.

   Buradaki $\binom{n}{k}$ katsayısı, gerçekleşen n deneme içerisinden hangi k denemede başarı sağlandığını gösteren farklı sıralanışların toplam sayısını verir.

   Binom Olasılık Fonksiyonu

   Bağımsız n Bernoulli denemesinde rasgele değişken olan başarı sayısı X olmak üzere, tam olarak k kez başarı elde edilme olasılığı binom dağılımı formülüyle hesaplanır:

   $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$$

   Formüldeki bileşenlerin anlamları:

   • n: Bağımsız deneme sayısı
   • k: Hedeflenen başarı sayısı (0 ≤ k ≤ n)
   • p: Tek bir denemedeki başarı olasılığı
   • 1 - p: Tek bir denemedeki başarısızlık olasılığı

   Tüm olası başarı durumlarının olasılıkları toplamı, binom açılımının doğal bir sonucu olarak 1'e denktir:

   $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} = (p + (1 - p))^n = 1^n = 1$$