10 的幂与千分位的位值 知识讲解

专题讲解笔记

1. 认识数位与十进制

   在十进制计数法中，每个数位上的数字所表示的数值不仅取决于数字本身，还取决于它所在的数位（位值）。相邻两个计数单位之间的进率都是 10。

   以小数点为界：

   • 小数点左边是整数部分，数位从右向左依次为个位（计数单位是 1，即 $10^0$）、十位（计数单位是 10，即 $10^1$）、百位（计数单位是 100，即 $10^2$）等。
   • 小数点右边是小数部分，数位从左向右依次减小：第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位。

   深入理解千分位

   千分位位于小数点右侧第三位，表示把整数 1 平均分成 1000 份后其中的一份或几份。

   • 千分位的计数单位是千分之一，写作分数是 $\frac{1}{1000}$，写作小数是 $0.001$。
   • 用 10 的幂表示，千分之一即为 $10^{-3}$。
   • 相邻关系：10 个千分之一等于 1 个百分之一（$10 \times 0.001 = 0.01$）；100 个千分之一等于 1 个十分之一（$100 \times 0.001 = 0.1$）。

   数值分解示例

   以小数 4.238 为例：

   • 数字 4 在个位上，表示 4 个 1（$4 \times 1$）。
   • 数字 2 在十分位上，表示 2 个 0.1（$2 \times 0.1$）。
   • 数字 3 在百分位上，表示 3 个 0.01（$3 \times 0.01$）。
   • 数字 8 在千分位上，表示 8 个 0.001（$8 \times 0.001 = 0.008$）。

   按位权展开式为：$$4.238 = 4 + 0.2 + 0.03 + 0.008$$

   10 的乘方与小数点的移动

   一个数乘或除以 10 的幂（如 10、100、1000），本质上是每个数位上的数字在数位顺序表上向左或向右移动。

   乘 10 的幂（数值扩大）

   • 乘 10（$10^1$）：每个数字向左移动一位，数值扩大到原来的 10 倍，小数点向右移动一位。例如：$0.005 \times 10 = 0.05$。
   • 乘 100（$10^2$）：数值扩大到原来的 100 倍，小数点向右移动两位。例如：$0.005 \times 100 = 0.5$。
   • 乘 1000（$10^3$）：数值扩大到原来的 1000 倍，千分位上的数字变为个位上的数字，小数点向右移动三位。例如：$0.005 \times 1000 = 5$。

   除以 10 的幂（数值缩小）

   • 除以 10：数值缩小到原来的 $\frac{1}{10}$，小数点向左移动一位。例如：$3 \div 10 = 0.3$。
   • 除以 100：数值缩小到原来的 $\frac{1}{100}$，小数点向左移动两位。例如：$3 \div 100 = 0.03$。
   • 除以 1000：数值缩小到原来的 $\frac{1}{1000}$，个位上的数字移动到千分位，小数点向左移动三位。例如：$3 \div 1000 = 0.003$。