20以内（凑十法、加倍、算式族） 知识讲解

专题讲解笔记

1. 什么是凑十法？

   在计算20以内的进位加法时，凑十法是一种非常高效的计算策略。它的核心思想是：把一个加数拆开，将其中的一部分与另一个加数先凑成10，再加上剩下的部分。

   凑十口诀与互补数

   熟练运用凑十法的前提是掌握“凑十儿歌”：

   • 一九一九好朋友（1和9凑成10）
   • 二八二八手拉手（2和8凑成10）
   • 三七三七真亲密（3和7凑成10）
   • 四六四六一起走（4和6凑成10）
   • 五五凑成一双手（5和5凑成10）

   具体运算步骤（以 9 + 4 为例）

   1. 看大数，分小数：9比较大，4比较小。想：9和几凑成10？9和1凑成10，所以把4拆分成1和3。
   2. 凑成十：9加1等于10。
   3. 加剩数：10再加上拆分后剩下的3，得到13。

   运算过程可以表示为：$9 + 4 = 9 + (1 + 3) = (9 + 1) + 3 = 10 + 3 = 13$。

   加倍（相同数相加）

   加倍是指两个相同的数相加。牢记加倍算式能够帮助我们迅速建立数感，提高口算速度：

   • 5 + 5 = 10
   • 6 + 6 = 12
   • 7 + 7 = 14
   • 8 + 8 = 16
   • 9 + 9 = 18

   利用“加倍加一”解决相邻数相加

   当计算两个相邻自然数相加时，可以借用加倍算式快速得出答案。例如计算 7 + 8：

   • 方法一（看小数加倍）：因为7 + 7 = 14，而8比7多1，所以可以写成：$7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15$。
   • 方法二（看大数减一）：因为8 + 8 = 16，而7比8少1，所以可以写成：$7 + 8 = 8 + 8 - 1 = 16 - 1 = 15$。

   通过加倍与近加倍策略，能够减少机械数数，实现快速心算。

   什么是算式族？

   算式族（又称数字族或事实族）是指由三个特定的数字通过加减法运算组成的四个相互关联的算式。它清晰地展现了部分与整体、加法与减法之间的互逆关系。

   算式族的结构（以 6、7、13 为例）

   这三个数中，6和7是两个部分，13是整体。它们可以组成两道加法算式和两道减法算式：

   • 6 + 7 = 13（部分 + 部分 = 整体）
   • 7 + 6 = 13（交换加数位置，和不变）
   • 13 - 6 = 7（整体 - 其中一部分 = 另一部分）
   • 13 - 7 = 6（整体 - 另一部分 = 其中一部分）

   “想加算减”的实际应用

   算式族是掌握“想加算减法”的关键工具。例如在计算 $15 - 8$ 时：

   想：8加几等于15？因为已知 $8 + 7 = 15$，所以 $15 - 8 = 7$。借助同一算式族内的加法事实，减法计算变得简单直接。

   灵活选用计算方法

   在面对不同的算式时，我们可以根据数的特点灵活选择最优策略：

   • 遇到接近10的数（如9、8、7）：优先使用凑十法。例如计算 $8 + 5$，将5拆成2和3，$8 + 2 = 10$，$10 + 3 = 13$。
   • 遇到相邻或非常接近的数（如6和7、8和9）：优先使用加倍及近加倍法。例如计算 $6 + 7$，由 $6 + 6 = 12$ 快速推导出 $12 + 1 = 13$。
   • 遇到20以内的退位减法：优先结合算式族使用想加算减法，也可以辅助使用“破十法”。

   掌握这三种核心算理不仅能够提升口算的速度与准确率，还能为后续学习两位数及多位数的进位加法与退位减法打下坚实的基础。