两步应用题 知识讲解

专题讲解笔记

1. 认识两步计算的应用题

   在日常生活中，许多数学问题不能仅通过一步计算得出最终结果，而是需要分步解决。这类需要进行两次运算才能求出最终答案的实际问题，被称为两步应用题。

   解决两步应用题的核心在于寻找中间隐藏问题（即过渡量）。在求得最终问题之前，必须先根据已知条件，计算出一个未直接给出的量。

   一步题与两步题的对比

   • 一步应用题：条件充足，直接计算。例如：“书架上有 15 本书，又放上去 8 本，现在有多少本书？”直接列式为 $15 + 8 = 23$（本）。
   • 两步应用题：缺少一个直接条件，必须先算一步。例如：“书架上有 15 本故事书，科技书比故事书多 8 本，两种书一共有多少本？”这里不能直接求总数，必须先求出科技书的数量。

   连续相加与连续相减模型

   在加法与减法范围内的两步应用题中，最基本的结构是连续增加或连续减少的数量关系。

   1. 连加应用题（求总量）

   当三个或多个部分量汇集为一个总量时，使用连加计算。

   典型情境：学校图书馆上午借出 24 本书，中午借出 18 本书，下午借出 35 本书。全天一共借出多少本书？

   • 第一步（中间量）：求上午和中午借出的总和，$24 + 18 = 42$（本）。
   • 第二步（最终结果）：求全天借出的总数，$42 + 35 = 77$（本）。
   • 综合算式：$24 + 18 + 35 = 77$（本）。

   2. 连减应用题（求剩余）

   从一个总量中连续去掉两个不同的部分，求剩下的数量。

   典型情境：水果店运来 90 箱苹果，第一天卖出 32 箱，第二天卖出 28 箱。还剩下多少箱？

   • 方法一（依次减去）：$90 - 32 - 28 = 30$（箱）。
   • 方法二（先求一共卖出，再求剩余）：先算两天共卖出 $32 + 28 = 60$（箱），再算剩下 $90 - 60 = 30$（箱），综合算式为 $90 - (32 + 28) = 30$（箱）。

   动态变化过程：先加后减与先减后加

   加减混合的两步应用题通常描述一个量的动态增减过程，例如人员上下车、物品购入与消耗等。

   1. 先加后减（先增后减）

   典型情境：公交车上原本有 26 名乘客。到达第一站时，上车 9 人，下车 12 人。现在车上有多少名乘客？

   • 第一步（中间量）：先求上车后车上共有多少人：$26 + 9 = 35$（人）。
   • 第二步（最终结果）：再求下车后剩下的乘客人数：$35 - 12 = 23$（人）。
   • 综合算式：$26 + 9 - 12 = 23$（人）。

   2. 先减后加（先减后增）

   典型情境：小明有 45 张邮票，送给同学 18 张后，爸爸又送给他 15 张。小明现在有多少张邮票？

   • 第一步（中间量）：送给同学后剩下的邮票数：$45 - 18 = 27$（张）。
   • 第二步（最终结果）：爸爸再送之后的邮票总数：$27 + 15 = 42$（张）。
   • 综合算式：$45 - 18 + 15 = 42$（张）。

   涉及两个量比较的两步应用题

   当题目中给出一个已知量，并说明另一个量“比它多多少”或“比它少多少”时，常常需要先求出第二个量，再计算两者的总和或差。

   1. 求和型（先求出第二个量，再求两数之和）

   例题：果园里有梨树 38 棵，苹果树比梨树少 12 棵。梨树和苹果树一共有多少棵？

   1. 明确隐藏问题：要求一共有多少棵，必须先知道苹果树有多少棵。
   2. 第一步（求苹果树）：$38 - 12 = 26$（棵）。
   3. 第二步（求总数）：$38 + 26 = 64$（棵）。
   4. 综合算式：$38 + (38 - 12) = 64$（棵）。

   2. 常见易错点剖析

   很多同学容易出现混淆，误将第一步求得的中间量当作最终答案。例如在上述题目中，若只算 $38 - 12 = 26$ 就写答，忽略了问题是问两种树的总和，而不是仅求苹果树的数量。

   四步解题策略

   规范的思维步骤能够有效帮助理清数量关系，避免漏步与算错：

   1. 读题审题：圈出已知条件和最终问题，明确单位名称。
   2. 分析关系（找中间问题）：想一想“要求出最终问题，先要算出什么？”。
   3. 列式计算：可以列分步算式，也可以列综合算式（注意合理使用小括号来改变运算顺序）。
   4. 检验并作答：检查计算是否准确、单位是否正确、得数是否符合实际生活常理，最后写出完整的答语。