分数除以分数 知识讲解

专题讲解笔记

1. 什么是分数除以分数？

   分数除以分数的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算；也可以理解为求一个分数里面包含多少个另一个分数。

   例如：计算 $\frac{2}{3} \div \frac{1}{6}$

   从包含意义来看，就是求 $\frac{2}{3}$ 里面包含有多少个 $\frac{1}{6}$。

   • 将 $\frac{2}{3}$ 通分后可以化为 $\frac{4}{6}$；
   • $\frac{4}{6}$ 里面包含有 4 个 $\frac{1}{6}$；
   • 因此，$\frac{2}{3} \div \frac{1}{6} = 4$。

   计算法则：乘除数的倒数

   在实际运算中，不需要每次都通分。通过算理推导可以得出通用法则：

   甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

   用字母表示为：

   $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \quad (b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0)$$

   基本步骤

   1. 看：观察被除数与除数；
   2. 变：将除号变为乘号，同时将除数变为它的倒数（被除数保持不变）；
   3. 约：在乘的过程中先约分，使计算简便；
   4. 算：分子相乘作分子，分母相乘作分母，结果化为最简分数或整数。

   典型例题

   例题 1：计算 $\frac{8}{9} \div \frac{4}{3}$

   解：$$\begin{aligned} \frac{8}{9} \div \frac{4}{3} &= \frac{8}{9} \times \frac{3}{4} \\ &= \frac{8 \times 3}{9 \times 4} \\ &= \frac{2 \times 1}{3 \times 1} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

   例题 2：计算 $\frac{5}{12} \div \frac{5}{8}$

   解：$$\begin{aligned} \frac{5}{12} \div \frac{5}{8} &= \frac{5}{12} \times \frac{8}{5} \\ &= \frac{1 \times 2}{3 \times 1} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

   易错点提示

   • 颠倒错误：必须颠倒除数的分子和分母，绝不能颠倒被除数。
   • 连带错误：除号变为乘号与除数变倒数必须同时进行。
   • 约分不彻底：最终结果必须化为最简分数。

   商与被除数的大小关系（被除数大于0）

   • 当除数大于 1 时，商小于被除数。例如：$\frac{1}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$；
   • 当除数等于 1 时，商等于被除数；
   • 当除数小于 1（且大于0）时，商大于被除数。例如：$\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = 2 > \frac{1}{2}$。