VERİDEN OLASILIĞA Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Olası Durumların Modellenmesi

   Bir deneyde elde edilebilecek tüm olası sonuçların kümesine örnek uzay denir ve genellikle E harfi ile gösterilir. İki veya üç aşamalı deneylerde olası tüm çıktıların eksiksiz belirlenebilmesi için farklı temsil yöntemleri kullanılır:

   • Sistematik Liste: Çıktıların belirli bir kural ve sıra gözetilerek ardışık yazılmasıdır. Örneğin üç madeni paranın havaya atılması deneyinde çıktılar sırasıyla (Y, Y, Y), (Y, Y, T), (Y, T, Y), (T, Y, Y), (Y, T, T), (T, Y, T), (T, T, Y), (T, T, T) biçiminde düzenli olarak listelenir.
   • Tablo Yöntemi: Özellikle iki aşamalı deneylerde iki değişkenin kesişimini incelemek için kullanılır. İki adet hilesiz sayı küpünün birlikte atılması deneyinde $6 \times 6 = 36$ farklı durum bir tablo üzerinde satır ve sütunların eşlenmesiyle kolaylıkla takip edilir.
   • Ağaç Şeması: Aşama aşama gerçekleşen deneylerin dallara ayrılarak görselleştirilmesini sağlar. İslam medeniyetinde kriptoloji ve olasılık temellerine öncülük eden bilim insanı El-Kindî, harf frekansları ve kombinasyonel dizilimleri incelerken bu tür dallanma ve ağaç temsillerinden yararlanmıştır.

   Tüm çıktıların gerçekleşme şansı birbirine eşit ise bu çıktılara eş olası çıktılar denir.

   Olayların Birleşimi ve Teorik Olasılık

   Örnek uzayın her bir alt kümesine olay adı verilir. Eş olası durumlardan oluşan sonlu bir örnek uzayda bir A olayının teorik olasılığı şu bağıntıyla hesaplanır:

   $$P(A) = \frac{\text{A olayının çıktı sayısı}}{\text{Örnek uzayın toplam çıktı sayısı}} = \frac{s(A)}{s(E)}$$

   Olay Türleri Arasındaki İlişkiler

   • Ayrık Olaylar: Aynı örnek uzayda gerçekleşen iki olayın hiçbir ortak çıktısı yoksa ($A \cap B = \emptyset$) bu olaylara ayrık olaylar denir. Ayrık olayların birlikte gerçekleşme olasılığı sıfırdır. Bu durumda "A veya B" olayının olasılığı:$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
   • Ayrık Olmayan Olaylar: İki olayın en az bir ortak çıktısı bulunuyorsa ($A \cap B \neq \emptyset$) bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir. Ortak çıktılar iki kez sayılmamalıdır. Dolayısıyla birleşim olasılığı:$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

   Örneğin hilesiz bir sayı küpü atıldığında üst yüze gelen sayının "tek sayı gelmesi" ($\{1, 3, 5\}$) ile "asal sayı gelmesi" ($\{2, 3, 5\}$) olaylarının ortak elemanları ($\{3, 5\}$) bulunduğu için bu olaylar ayrık değildir.

   Gözlem, Göreli Sıklık ve Genelleme

   Bir olayın fiziksel olarak tekrarlanması ya da bilgisayar destekli simülasyonlarla gerçekleştirilmesi sonucunda hesaplanan olasılık değerine deneysel olasılık denir.

   Deneysel olasılık, hedeflenen çıktının gerçekleşme sayısının toplam deneme sayısına bölünmesiyle (göreli sıklık) bulunur:

   $$\text{Deneysel Olasılık} = \frac{\text{Gözlenen Durumun Gerçekleşme Sayısı}}{\text{Toplam Deneme Sayısı}}$$

   Tümevarımsal Akıl Yürütme ve Büyük Sayılar İlkesi

   • Az sayıda yapılan denemelerde elde edilen göreli sıklıklar rastlantısal dalgalanmalardan ötürü teorik değerden belirgin şekilde uzak olabilir.
   • Deneme sayısı adım adım artırıldığında (örneğin 10 atıştan 100, 1.000 ve 10.000 atışa ulaşıldığında), göreli sıklık değerinin matematiksel olarak hesaplanan teorik olasılık değerine giderek yaklaştığı gözlemlenir.
   • Bu gözlemden hareketle şu tümevarımsal genellemeye ulaşılır: Bir deneyde tekrar sayısı arttıkça olayın deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşır ve uzun vadede onunla örtüşür.

2. Deneysel Veri ve Göreli Sıklık

   Olasılık, yalnızca kuramsal hesaplamalarla değil, tekrarlanabilir deneyler ve gözlemler yoluyla toplanan verilerle de incelenir. Bir rassal deneyde belirli bir olayın gerçekleşme sayısına mutlak sıklık (frekans), bu sayının toplam deneme sayısına oranına ise göreli sıklık adı verilir.

   Bir $A$ olayının göreli sıklığı şu bağıntıyla ifade edilir:

   $$\\text{Göreli Sıklık} = \\frac{\\text{Olayın Gerçekleşme Sayısı}}{\\text{Toplam Deneme Sayısı}}$$

   Örneğin, 4 eş bölmeye ayrılmış (kırmızı, mavi, sarı, yeşil) bir çark 20 kez çevrildiğinde ibre 7 kez kırmızı bölmede durmuşsa, kırmızı gelme olayının göreli sıklığı $\\frac{7}{20} = 0{,}35$ olur. Göreli sıklık, gerçekleşen gözlemlere dayalı bir oran sunduğundan gelecekteki durumlar için veri temelli bir tahmin aracıdır.

   Tekrar Sayısının Göreli Sıklığa Etkisi

   Bir deneydeki tekrar sayısı az olduğunda, rastlantısal dalgalanmalar nedeniyle göreli sıklık kuramsal beklentiden belirgin şekilde uzaklaşabilir. Ancak deneme sayısı kademeli olarak artırıldığında göreli sıklık değerleri kararlı bir hâl almaya başlar.

   • Düşük Deneme Sayısı: Örneğin, hilesiz bir madenî para 10 kez atıldığında 8 kez yazı gelebilir. Bu durumda yazının göreli sıklığı $0{,}80$ gibi kuramsal değer olan $0{,}50$'den oldukça farklı bir değer alabilir.
   • Yüksek Deneme Sayısı: Aynı para 1000 kez atıldığında yazı gelme sayısı genellikle 500 civarında seyreder ve göreli sıklık $0{,}49$ ile $0{,}51$ gibi $0{,}50$'ye çok yakın bir aralığa oturur.

   Bu durum, deneme sayısı arttıkça bir olayın göreli sıklığının o olayın kuramsal olasılık değerine yaklaştığını gösterir. Dolayısıyla veri temelli tahminlerin güvenilirliği, doğrudan gözlem sayısının büyüklüğüne bağlıdır.

   Veriden Yargıya: Olasılık Dağılımlarını Yorumlama

   Deney sonuçlarının sıklık ve göreli sıklık tabloları ile sütun grafiklerine aktarılması, olayların olasılık dağılımını görselleştirmeyi ve karşılaştırmayı kolaylaştırır.

   İki hilesiz sayı küpünün birlikte atılması ve üst yüze gelen sayıların toplamının kaydedilmesi deneyini ele alalım:

   • Toplamın 7 olması gibi çıktı sayısı fazla olan bileşik olaylar, simetrik ve yüksek sıklığa sahip bir dağılım oluşturur.
   • Farklı çalışma gruplarının elde ettiği veriler birleştirildiğinde toplam deneme sayısı büyüyeceğinden, dağılımın biçimi ve merkezi daha belirginleşir.

   Sonuç ve Çıkarım: Bir olayın gerçekleşme olasılığı önceden bilinmediğinde veya kuramsal olarak hesaplanması güç olduğunda, kontrollü bir deney tasarlanır, yeterli sayıda veri toplanır ve elde edilen göreli sıklık değeri olayın olasılığı için en rasyonel tahmin olarak kabul edilir.