Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilen Denklem ve Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Doğrusal Fonksiyonlarla Modelleme

   Gerçek yaşamda karşılaşılan ve sabit bir değişim oranına sahip durumlar doğrusal fonksiyonlarla modellenir. $a, b \in \mathbb{R}$ ve $a \neq 0$ olmak üzere genel ifadesi $f(x) = ax + b$ biçimindedir.

   • Değişim Oranı (Eğim - $a$): Bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişkende oluşturduğu sabit değişim miktarıdır.
   • Başlangıç Değeri ($b$): Bağımsız değişken sıfır olduğunda fonksiyonun aldığı değerdir; dik koordinat sisteminde grafiğin $y$ eksenini kestiği $(0, b)$ noktasıdır.
   • Fonksiyonun Sıfırı (Kök): $f(x) = 0$ eşitliğini sağlayan $x = -\frac{b}{a}$ değeridir ve grafiğin $x$ eksenini kestiği noktanın apsisidir.

   Kesişen Doğrular ve Denklem Çözümü

   İki farklı doğrusal sürecin karşılaştırılmasında $f(x) = g(x)$ denklemi kullanılır. Bu denklem, iki fonksiyonun ürettiği değerlerin eşitlendiği durumu belirler.

   Grafiksel olarak iki doğrunun kesişim noktası $(x_0, y_0)$, bu iki fonksiyonun ortak çözümüdür:

   • Grafiklerin kesiştiği noktanın apsisi ($x_0$), $f(x) = g(x)$ denkleminin tekil çözümüdür.
   • Bu apsis fonksiyonlarda yerine yazıldığında elde edilen ordinat ($y_0 = f(x_0) = g(x_0)$), süreçlerin eşitlendiği denge seviyesini gösterir.
   • Ekonomideki başabaş noktası (gelir = maliyet) veya piyasa denge fiyatı (arz = talep) bu yaklaşımın doğrudan birer örneğidir.

   Eşitsizliklerin Grafiksel Yorumu

   Gerçek yaşam problemlerinde çoğu zaman tek bir denge durumu değil, bir durumun diğerine üstün olduğu aralıklar aranır. Bu durumlar $f(x) > g(x)$ veya $f(x) < g(x)$ eşitsizlikleri ile ifade edilir.

   • Grafiksel Karşılaştırma: $f(x) > g(x)$ eşitsizliğinin çözüm kümesi, dik koordinat sisteminde $f$ doğrusunun $g$ doğrusunun üst tarafında kaldığı $x$ değerlerinin aralığıdır.
   • Özel Durum Olarak $f(x) < 0$: Bu eşitsizlik, $g(x) = 0$ yani $x$ ekseni kabul edildiğinde $f(x) < g(x)$ biçiminin özel bir hâlidir. Grafiğin $x$ ekseninin altında kalan parçasına karşılık gelir.
   • İşaret Tablosu: Kök değeri olan $x = -\frac{b}{a}$ noktası işaret değişim sınırıdır. Eğim $a > 0$ ise kökün sağında pozitif, solunda negatif; $a < 0$ ise kökün sağında negatif, solunda pozitif değerler alır.

   Uygulama: Tarife Seçimi ve Model Doğrulama

   Bir veri depolama şirketi iki farklı plan sunmaktadır:

   • A Planı: Aylık 60 TL sabit ücret ve kullanılan her gigabayt (GB) için 4 TL.
   • B Planı: Aylık 120 TL sabit ücret ve kullanılan her GB için 2 TL.

   Kullanılan veri miktarı $x$ (GB) olmak üzere toplam maliyet fonksiyonları $f(x) = 4x + 60$ ve $g(x) = 2x + 120$ olur.

   1. Denge Noktası: $4x + 60 = 2x + 120 \implies 2x = 60 \implies x = 30$. Aylık 30 GB kullanımda her iki plan da 180 TL maliyet üretir.
   2. Eşitsizlik ve Karar: $g(x) < f(x) \implies 2x + 120 < 4x + 60 \implies x > 30$. Aylık kullanımı 30 GB'ı aşan bir kullanıcı için B Planı daha ekonomiktir.
   3. Doğrulama: $x = 40$ için $f(40) = 220$ TL iken $g(40) = 200$ TL olup modelin eşitsizlik kararı matematiksel olarak doğrulanır.