GEOMETRİK ŞEKİLLER Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Geometride doğruluğu kabul edilen aksiyomlardan hareketle önermelerin mantıksal gerekçelerle kanıtlanması esastır. Bir düzlemde verilen bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğu bilgisi, Öklid paralellik aksiyomu ve iç ters açılar yardımıyla ispatlanır.

   İspat Adımları:

   • Köşeleri $A$, $B$ ve $C$ olan bir $ABC$ üçgeni ele alınsın.
   • $A$ köşesinden geçen ve karşı kenar olan $[BC]$ doğrusuna paralel olan bir $d$ doğrusu çizilir (Paralellik aksiyomu gereği bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel doğru çizilebilir).
   • $d$ doğrusu üzerinde $A$ noktasının farklı taraflarında sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları belirlensin ($D-A-E$ doğrusaldır).
   • $d \parallel BC$ olduğundan iç ters açılar kuralı gereğince $m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{ABC})$ ve $m(\widehat{EAC}) = m(\widehat{ACB})$ olur.
   • $A$ noktasındaki doğru açı $m(\widehat{DAB}) + m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{EAC}) = 180^\circ$ eşitliğini verir.
   • İç ters açılar yerlerine yazıldığında $m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ$ eşitliğine ulaşılır.

   Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu önerme, iç açılar toplamı ve bütünler açı özellikleri kullanılarak doğrudan doğrulanabilir.

   Mantıksal Çıkarım:

   $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait dış açının ölçüsü $m(\widehat{ACD})$ olsun. $C$ köşesindeki iç açı ile dış açı doğrusal bir çift oluşturduğundan birbirini 180°ye tamamlar:

   $m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{ACD}) = 180^\circ$

   Aynı zamanda üçgenin iç açıları toplamı:

   $m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ$

   Her iki eşitliğin sağ tarafı 180° olduğundan sol taraflar birbirine eşitlenir:

   $m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB})$

   Eşitliğin her iki tarafından $m(\widehat{ACB})$ çıkarıldığında teorem doğrulanmış olur:

   $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC})$

   Düzlemsel her üçgende her bir köşeye ait birer dış açının ölçüleri toplamı daima 360°dir. Bu durum, her bir köşedeki iç ve dış açının oluşturduğu doğrusal çiftlerin toplamından hareketle kanıtlanır.

   Tablo ile Doğrulama ve İlişkilendirme:

   Bir üçgenin köşeleri $A$, $B$, $C$; iç açıları $a, b, c$ ve bu köşelere ait komşu dış açıları sırasıyla $a', b', c'$ olsun:

   • A Köşesi: $a + a' = 180^\circ$
   • B Köşesi: $b + b' = 180^\circ$
   • C Köşesi: $c + c' = 180^\circ$

   Bu üç eşitlik taraf tarafa toplandığında:

   $(a + b + c) + (a' + b' + c') = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ = 540^\circ$

   Daha önce ispatlanan $a + b + c = 180^\circ$ değeri yerine konulursa:

   $180^\circ + (a' + b' + c') = 540^\circ$

   $a' + b' + c' = 360^\circ$

   Böylece bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamının 360° olduğu genel geçer bir kanıtla gösterilmiş olur.