Cebirsel İfadelerle İşlemler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Cebirsel İfadelerin Anlamı

   Günlük yaşamda karşılaştığımız değişken miktarları ve ilişkileri ifade etmek için harflerden (değişkenlerden) ve işlemlerden yararlanırız. Bir cebirsel ifadede artı ve eksi işaretleriyle birbirinden ayrılan her bir bölüme terim denir.

   Değişken içermeyen terimlere sabit terim, değişkenin önünde çarpım durumunda bulunan sayıya ise katsayı adı verilir. Değişkenleri ve bu değişkenlerin kuvvetleri tamamen aynı olan terimlere benzer terim denir.

   Örneğin bir kırtasiyedeki bir defterin fiyatı $x$ TL olsun. Bir kalemin fiyatı defterin fiyatından 4 TL eksik ise kalemin fiyatı $x - 4$ TL ile gösterilir. Burada $x$ ve $-4$ birer terimdir; $-4$ sabit terimdir ve $x$ teriminin katsayısı 1'dir.

   Benzer Terimlerle İşlem Yapma

   Cebirsel ifadelerle toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken yalnızca benzer terimler kendi aralarında toplanabilir veya çıkarılabilir. Benzer olmayan terimler doğrudan birbiriyle toplanamaz.

   • Değişme Özelliği: Terimlerin yerleri değiştirildiğinde toplamın değeri değişmez. Örneğin $3x + 5 + 2x = 3x + 2x + 5$ şeklinde yazılabilir.
   • Birleşme Özelliği: Terimler farklı biçimlerde gruplandırılarak toplanabilir: $(3x + 2x) + 5 = 5x + 5$.

   Çıkarma işleminde ise çıkan cebirsel ifadedeki her bir terimin işareti değiştirilerek toplama işlemine dönüştürülür. Örneğin $(5x + 7) - (2x + 3)$ işleminde çıkarma işlemi dağıtıldığında ifade $5x + 7 - 2x - 3$ biçimini alır. Benzer terimler bir araya getirildiğinde sonuç $3x + 4$ olur.

   Çarpmanın Toplama ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği

   Bir cebirsel ifade bir sayı ile çarpılırken parantez içindeki her bir terim bu sayı ile ayrı ayrı çarpılır. Bu durum dağılma özelliği ile açıklanır.

   Örnek olarak bir pakette $2a + 3$ adet bisküvi bulunduğunu düşünelim. Bu paketlerden 4 tanesi alındığında toplam bisküvi sayısı:

   $4 \cdot (2a + 3) = (4 \cdot 2a) + (4 \cdot 3) = 8a + 12$ olur.

   Çarpan bir rasyonel sayı olduğunda da aynı kural geçerlidir. Örneğin kenar uzunlukları toplamı $6x - 9$ birim olan bir tel 3 eşit parçaya bölündüğünde her bir parçanın uzunluğu $\frac{1}{3} \cdot (6x - 9)$ işlemiyle bulunur:

   $\frac{1}{3} \cdot 6x - \frac{1}{3} \cdot 9 = 2x - 3$ birim elde edilir.

   Denk İfadeler ve Değer Verme Stratejisi

   Farklı biçimlerde yazılmış olsalar da değişkene verilen her gerçek değer için aynı sonucu üreten cebirsel ifadelere denk ifadeler denir.

   Bir işlem sonucunda elde edilen ifadenin ilk ifadeye denk olup olmadığını kontrol etmek için değişkene uygun bir sayı değeri verilebilir.

   Örneğin $2(3x + 1) + 4x$ ifadesi ile $10x + 2$ ifadesinin denkliğini inceleyelim:

   • İfadeyi sadeleştirelim: $6x + 2 + 4x = 10x + 2$.
   • Doğrulama için $x = 2$ değerini verelim:
     • İlk ifade: $2(3 \cdot 2 + 1) + 4 \cdot 2 = 2(7) + 8 = 14 + 8 = 22$
     • İkinci ifade: $10 \cdot 2 + 2 = 20 + 2 = 22$

   Her iki durumda da aynı sonuç elde edildiği için bu iki cebirsel ifadenin denk olduğu doğrulanmış olur.