Yamuk Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Yamuk Nedir?

   Yalnızca iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir. Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ ise bu paralel kenarlara tabanlar ($a$ ve $c$), paralel olmayan $[AD]$ ve $[BC]$ kenarlarına ise yan kenarlar adı verilir.

   Karşı Durumlu Açılar

   Tabanların paralelliği nedeniyle aynı yan kenara bitişik olan iç açıların ölçüleri toplamı $180^\circ$ dir:

   • $m(\widehat{A}) + m(\widehat{D}) = 180^\circ$
   • $m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ$

   Yamukta komşu iki iç açının açıortayları birbirine dik kesişir ($90^\circ$) ve bu kesişim noktası orta taban doğrusu üzerinde yer alır.

   Orta Taban Teoremi

   Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Taban uzunlukları $a$ ($AB$) ve $c$ ($DC$) olan bir yamukta, orta taban her iki tabana da paraleldir ve uzunluğu tabanların aritmetik ortalamasına eşittir:

   $$EF = \frac{a + c}{2}$$

   Köşegenlerin Orta Tabandaki Parçaları

   Köşegenler orta tabanı kestiğinde oluşan parçalar Thales teoremi ile belirlenir:

   • Köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı kenar parçaları $c/2$ birimdir.
   • Köşegenlerin orta noktaları arasında kalan parça uzunluğu ise tabanlar farkının yarısıdır: $$KL = \frac{|a - c|}{2}$$

   Temel Alan Formülü

   Taban uzunlukları $a$ ve $c$, bu tabanlar arasındaki dik uzaklık (yükseklik) $h$ olan bir yamuğun alanı tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir:

   $$Alan(ABCD) = \frac{a + c}{2} \cdot h$$

   Orta taban uzunluğuna $m$ denirse, doğrudan $Alan(ABCD) = m \cdot h$ şeklinde de ifade edilir.

   Köşegenlerin Ayırdığı Alanlar

   Köşegenlerin kesiştiği nokta $K$ olmak üzere:

   • Yan üçgenlerin alanları birbirine eşittir: $Alan(AKD) = Alan(BKC) = S$
   • Alt ve üst üçgenlerin alanları tabanların kareleriyle orantılıdır: $Alan(ABK) = S_1$, $Alan(CDK) = S_2$
   • Yan alanlar ile alt-üst alanlar arasında şu temel bağıntı geçerlidir: $$S = \sqrt{S_1 \cdot S_2}$$
   • Tüm yamuğun alanı ise $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$ değerine eşit olur.

   İkizkenar Yamuk

   Paralel olmayan yan kenar uzunlukları eşit olan ($|AD| = |BC|$) yamuktur.

   • Taban açıları birbirine eşittir: $m(\widehat{A}) = m(\widehat{B})$ ve $m(\widehat{D}) = m(\widehat{C})$.
   • Köşegen uzunlukları birbirine eşittir ($|AC| = |BD|$).
   • Köşegenleri birbirine dik kesişen bir ikizkenar yamukta yükseklik, orta taban uzunluğuna eşittir: $h = \frac{a + c}{2}$. Dolayısıyla alan $h^2$ olur.

   Dik Yamuk

   Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuktur. Bu dik kenar doğrudan yamuğun yüksekliğidir ($h$).

   • Dik yamukta köşegenler birbirine dik kesiştiğinde, yükseklik ile tabanlar arasında öklid benzerliği gereğince temel bağıntı kurulur: $$h^2 = a \cdot c$$