Açıortay Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Açıortay Kavramı

   Bir açıyı iki eş ölçülü açıya bölen ışına açıortay denir.

   Uzaklık Teoremi

   Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca bu dikmelerin kolları kestiği noktaların açının köşesine olan uzaklıkları da eşittir.

   Bir $A$ açısının açıortayı üzerinde alınan bir $P$ noktası için kollara indirilen dikme ayakları $K$ ve $L$ olsun. Bu durumda:

   • $|PK| = |PL|$
   • $|AK| = |AL|$

   Bu temel ilke, açıortayın aynı zamanda açı kollarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğunu gösterir.

   İç Açıortay Bağıntısı

   Bir üçgende bir iç açıya ait açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.

   Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç açıortay $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kessin. Kenar uzunlukları $|AB| = c$, $|AC| = b$, $|BD| = m$ ve $|DC| = n$ olmak üzere:

   $\frac{c}{b} = \frac{m}{n}$ veya $\frac{c}{m} = \frac{b}{n}$ eşitliği geçerlidir.

   İç Açıortay Uzunluğu

   $AD$ iç açıortayının uzunluğu $n_A$ olmak üzere uzunluk formülü:

   $n_A^2 = b \cdot c - m \cdot n$ bağıntısıyla hesaplanır.

   Alan İlişkisi

   Açıortayın ayırdığı üçgenlerin yükseklikleri eşit olduğundan alanları, tabanları ve dolayısıyla komşu kenarları ile doğru orantılıdır:

   $\frac{Alan(ABD)}{Alan(ADC)} = \frac{m}{n} = \frac{c}{b}$

   Dış Açıortay Bağıntısı

   Bir üçgende bir köşeye ait dış açıortayın karşı kenarın uzantısını kestiği noktanın üçgenin diğer iki köşesine olan uzaklıkları oranı, o köşelere komşu kenarların uzunlukları oranına eşittir.

   $ABC$ üçgeninde $A$ açısının dış açıortayı $BC$ doğrusunu üçgenin dışındaki bir $E$ noktasında kessin ($|AB| = c$, $|AC| = b$):

   $\frac{|EB|}{|EC|} = \frac{c}{b}$

   Dış Açıortay Uzunluğu

   $AE$ dış açıortayının uzunluğu $n'_A$ olmak üzere:

   $(n'_A)^2 = |EB| \cdot |EC| - b \cdot c$ eşitliği ile belirlenir.

   İç ve Dış Açıortay Arasındaki Diklik

   Bir üçgenin aynı köşesine ait iç açıortayı ile dış açıortayı birbirine diktir. Bu durum, komşu bütünler açıların açıortaylarının dik kesişmesi kuralının doğrudan sonucudur.

   İç Teğet Çemberin Merkezi

   Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu kesişim noktası, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıkta bulunan iç teğet çemberinin merkezidir (genellikle $I$ harfi ile gösterilir).

   • Üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ ve yarı çevre $u = \frac{a+b+c}{2}$ olmak üzere üçgenin alanı $Alan(ABC) = u \cdot r$ formülüyle bulunur.
   • İç açıortayların kesişim noktası üzerindeki oran bağıntısı: $\frac{|AI|}{|ID|} = \frac{b+c}{a}$ şeklindedir.

   Dış Teğet Çemberlerin Merkezleri

   Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü açının iç açıortayı aynı noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin kenarlarından birine ve diğer iki kenarın uzantılarına teğet olan dış teğet çemberin merkezidir. Her üçgenin üç farklı dış teğet çemberi bulunur.