Prizmalar Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Uzayda birbirine paralel iki düzlem üzerinde bulunan eş iki çokgenin karşılıklı köşelerinin birleştirilmesiyle elde edilen kapalı geometrik cisme prizma adı verilir.

   Temel Elemanlar

   • Tabanlar: Prizmanın birbirine paralel ve eş olan iki alt ve üst yüzüdür.
   • Yanal Yüzler: Taban ayrıtlarını birleştiren ve daima birer paralelkenar (dik prizmada dikdörtgen) olan yüzlerdir.
   • Yanal Ayrıtlar: Karşılıklı taban köşelerini birleştiren ve birbirine paralel olan doğru parçalarıdır.
   • Yükseklik: Taban düzlemleri arasındaki dik uzaklıktır ve $h$ ile gösterilir.

   Yanal ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma, dik olmayan prizmalara ise eğik prizma denir. Dik prizmalarda yanal ayrıt uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir.

   Bir prizmanın toplam yüzey alanı, taban alanları ile yanal yüzlerin alanlarının toplamından oluşur.

   Dik Prizmalarda Yüzey Alanı

   Taban çevresi $Ç_{t}$, yüksekliği $h$ ve taban alanı $A_{t}$ olan bir dik prizma için:

   • Yanal Alan ($A_{y}$): Taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
     $$A_{y} = Ç_{t} \cdot h$$
   • Toplam Alan ($A$): Yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.
     $$A = A_{y} + 2 \cdot A_{t}$$

   Eğik Prizmalarda Dik Kesit ve Alan

   Eğik bir prizmanın yanal ayrıtlarına dik bir düzlemle kesilmesi sonucu oluşan arakesite dik kesit denir. Dik kesit çevresi $Ç_{dk}$ ve yanal ayrıt uzunluğu $l$ olmak üzere yanal alan:

   $$A_{y} = Ç_{dk} \cdot l$$

   Bir prizmanın uzayda kapladığı yer, taban alanı ile tabanlar arasındaki dik uzaklığın çarpımı ile belirlenir.

   Hacim Formülü

   Taban alanı $A_{t}$ ve yüksekliği $h$ olan herhangi bir prizmanın hacmi ($V$):

   $$V = A_{t} \cdot h$$

   Eğik prizmalarda ise hacim aynı zamanda dik kesit alanı ($A_{dk}$) ile yanal ayrıt uzunluğunun ($l$) çarpımına eşittir:

   $$V = A_{dk} \cdot l$$

   Cavalieri İlkesi

   Taban alanları eşit olan ve aynı yükseklikte bulunan iki prizma, tabanlara paralel herhangi bir düzlemle kesildiğinde oluşan kesit alanları da daima eşit oluyorsa, bu iki prizmanın hacimleri birbirine eşittir. Bu ilke, eğik ve dik prizmaların hacim bağıntılarının temel dayanağını oluşturur.

   Geometride en sık karşılaşılan özel prizma türleri dikdörtgenler prizması ve küptür.

   Dikdörtgenler Prizması

   Tüm yüzleri dikdörtgen olan prizmadır. Ayrıt uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olmak üzere:

   • Yüzey Alanı: $A = 2(ab + bc + ac)$
   • Hacim: $V = a \cdot b \cdot c$
   • Cisim Köşegeni ($e$): Aynı yüzey üzerinde bulunmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.
     $$e = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

   Küp

   Tüm ayrıtları eşit uzunlukta ($a$) olan düzgün prizmadır:

   • Yüzey Alanı: $A = 6a^2$
   • Hacim: $V = a^3$
   • Cisim Köşegeni: $e = a\sqrt{3}$