Noktanın Analitiği Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Koordinat Düzlemi ve Bölgeler

   Birbirine dik iki sayı doğrusunun sıfır noktasında kesişmesiyle oluşan sisteme dik koordinat sistemi denir. Yatay eksen apsisler ekseni ($x$), düşey eksen ise ordinatlar eksenidir ($y$). Eksenlerin kesişim noktası olan $O(0, 0)$ noktasına orijin denir.

   Koordinat düzleminde herhangi bir $A$ noktası sıralı ikili şeklinde $A(x, y)$ olarak gösterilir. Burada $x$ apsis, $y$ ordinat değeridir. Düzlem eksenler tarafından dört bölgeye ayrılır:

   • 1. Bölge: $x > 0$ ve $y > 0$
   • 2. Bölge: $x < 0$ ve $y > 0$
   • 3. Bölge: $x < 0$ ve $y < 0$
   • 4. Bölge: $x > 0$ ve $y < 0$

   Eksenler üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir. $x$ ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfır, $y$ ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfırdır.

   Öklid Uzaklık Bağıntısı

   Analitik düzlemde verilen $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi yardımıyla hesaplanır.

   Uzaklık formülü:

   $$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

   Bu bağıntıda farkların karesi alındığından çıkarma sırası sonucu değiştirmez. $A(x, y)$ noktasının orijine olan uzaklığı ise doğrudan şu şekilde ifade edilir:

   $$|AO| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

   Orta Nokta Koordinatları

   $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren $[AB]$ doğru parçasının orta noktası $C(x_0, y_0)$ olsun. Orta nokta koordinatları, uç noktaların aritmetik ortalamasıdır:

   $$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

   Belli Bir Oranda Bölme

   Bir doğru parçasını verilen bir $k$ oranında içten veya dıştan bölen noktanın koordinatları, benzerlik kuralları ya da doğrusal artış/azalış miktarları orantılanarak bulunur. Uç noktaların apsisleri ve ordinatları arasındaki değişim, parçaların uzunlukları ile doğru orantılıdır.

   Ağırlık Merkezinin Koordinatları

   Köşe koordinatları $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ve $C(x_3, y_3)$ olan bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G(x_0, y_0)$ noktasının koordinatları, köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir:

   $$x_0 = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$$

   Ağırlık merkezi, kenarortayların kesim noktası olup kenara 1 birim, köşeye 2 birim uzaklık kuralını ($1:2$ oranı) analitik düzlemde korur.