Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Ortak Bölen Nedir?

   İki ya da daha fazla doğal sayıyı kalansız bölebilen sayılara bu sayıların ortak bölenleri denir.

   Bir sokak hayvanlarını besleme etkinliğinde 12 kilogram kuru mama ile 18 kilogram yaş mama bulunmaktadır. Bu mamaları birbirine karıştırmadan, hiç artmayacak şekilde eşit kütleli paketlere ayırmak istediğimizde paketlerin alabileceği kütleleri belirlemek için her iki sayının da bölenlerini inceleriz:

   • 12 sayısının bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • 18 sayısının bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18

   Her iki grupta da yer alan 1, 2, 3 ve 6 sayıları, 12 ve 18 sayılarının ortak bölenleridir. Dolayısıyla hazırlanacak her bir paketin kütlesi 1 kg, 2 kg, 3 kg veya 6 kg olabilir.

   Ortak Bölenleri Tablo ile İnceleme

   Kenar uzunlukları 20 metre ve 30 metre olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla fidan dikilecektir. İki fidan arasındaki mesafenin alabileceği değerleri tablo üzerinde inceleyelim:

   • 20 sayısının bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
   • 30 sayısının bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

   Her iki sayıyı da kalansız bölen ortak değerler 1, 2, 5 ve 10 sayılarıdır. Bu durum, fidanlar arasındaki mesafenin 1 m, 2 m, 5 m veya 10 m olabileceğini gösterir.

   Not: Eğer iki doğal sayının 1 dışında hiçbir ortak böleni yoksa bu iki sayı aralarında asal olarak adlandırılır. Örneğin 8 ve 9 sayılarının tek ortak böleni 1'dir.

   Ortak Kat Nedir?

   İki ya da daha fazla doğal sayının katı olan ortak sayılara bu sayıların ortak katları denir.

   Bir duraktan hareket eden iki otobüsten biri her 4 dakikada bir, diğeri ise her 6 dakikada bir sefer yapmaktadır. Aynı anda hareket eden bu otobüslerin duraktan tekrar aynı anda geçecekleri zamanları bulmak için katlarını sıralarız:

   • 4 sayısının katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
   • 6 sayısının katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...

   Her iki listede yer alan 12, 24, 36, ... sayıları 4 ve 6 sayılarının ortak katlarıdır. Bu otobüsler hareket ettikten 12, 24, 36 dakika sonra duraktan aynı anda geçerler.

   Ortak Katları Sayı Doğrusunda Gösterme

   Ortak katlar, bir sayı doğrusu üzerinde eşit adımlarla ilerlenerek de modellenebilir. Örneğin bir çekirge 3 birimlik, bir kurbağa ise 5 birimlik adımlarla sıfır noktasından başlayarak aynı yönde zıplamaktadır:

   • Çekirgenin bastığı noktalar: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
   • Kurbağanın bastığı noktalar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

   Her iki canlının da bastığı ilk ortak nokta 15, bir sonraki ise 30 birimdir. Böylece 3 ve 5 sayılarının ortak katlarının 15'in katları şeklinde (15, 30, 45, ...) devam ettiği görülür.

   Günlük hayatta bir bütünü eşit parçalara ayırırken ortak bölenlerden, belirli aralıklarla tekrarlanan durumların aynı anda gerçekleştiği anları belirlerken ise ortak katlardan yararlanırız.

2. Doğal Sayıların Çarpanları ve Asal Sayılar

   Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen sayma sayılarına o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Doğal sayıların çarpan sayıları birbirinden farklılık gösterebilir.

   Örneğin bazı sayıların çarpanlarını inceleyelim:

   • 2'nin çarpanları: 1 ve 2 (Toplam 2 çarpan)
   • 7'nin çarpanları: 1 ve 7 (Toplam 2 çarpan)
   • 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 (Toplam 6 çarpan)

   Sadece 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Buna göre:

   • En küçük asal sayı 2'dir.
   • 2 sayısı, çift olan yegâne (tek) asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tek sayıdır.
   • 1 sayısı, yalnızca tek bir doğal sayı çarpanına (kendisi) sahip olduğu için asal sayı değildir.

   Eratosten Kalburu Yöntemi

   Antik Yunan Dönemi matematikçilerinden Eratosthenes (Eratosten), belirli bir aralıktaki asal sayıları sistematik bir şekilde bulmak için eleme yöntemine dayanan bir tablo kurgulamıştır. Bu yönteme Eratosten Kalburu adı verilir.

   1'den 100'e kadar olan sayılardan oluşan bir yüzlük tabloda adımlar şöyle ilerler:

   1. 1 sayısı elenir: 1 asal sayı olmadığı için üzeri çizilir.
   2. 2 sayısı korunur: 2'nin kendisi asal olduğu için işaretlenir, ancak 2'nin katı olan tüm çift sayılar (4, 6, 8, 10...) elenir.
   3. 3 sayısı korunur: Sıradaki elenmemiş sayı 3'tür; kendisi işaretlenir, 3'ün diğer katları (9, 15, 21...) elenir.
   4. 5 ve 7 sayıları korunur: Sıradaki elenmemiş asal sayılar işaretlenir ve bu sayıların henüz elenmemiş katları elenir.

   Bu eleme tamamlandığında geriye kalan sayılar 100'e kadar olan asal sayılardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97.

   Asal Çarpan Temsilleri

   Bir doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. Asal çarpanları belirlemek için iki temel yöntem kullanılır:

   1. Çarpan Ağacı Yöntemi

   Sayı en üstte yer alır ve iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayrılır. Asal sayıya ulaşıldığında o dal sonlanır. Diğer sayılar asal çarpanlara ulaşılana kadar dallandırılmaya devam eder.

   2. Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi)

   Verilen sayının sağına dikey bir çizgi çekilir. Sayı, bölünebildiği en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölüm 1 olana kadar işlem sürdürülür.

   Örnek: 60 sayısının asal çarpanlarını belirleyelim.

   • 60 sayısı sırasıyla 2, 2, 3 ve 5 asal sayılarına bölünerek 1 sonucuna ulaşılır.
   • 60 sayısının tüm çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
   • 60 sayısının farklı asal çarpanları: 2, 3 ve 5 olmak üzere 3 tanedir.
   • Üslü gösterimi: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

   Tablo ve Verilerle Muhakeme

   Asal çarpanlar, sayıların yapısal özelliklerini çözümlemede güçlü bir araçtır. Bir doğal sayının asal çarpanlarının toplamı, sayısı veya çarpımı üzerinden sınıflandırma yapılabilir.

   Aşağıdaki veri tablosunda üç farklı ürün kolisi ve içlerindeki paket sayıları incelenmektedir:

   • A Kolisi (42 Paket): Çarpanları arasında 2, 3 ve 7 asalları bulunur. Farklı asal çarpanlarının toplamı: $2 + 3 + 7 = 12$'dir.
   • B Kolisi (45 Paket): Asal çarpanları 3 ve 5'tir. Farklı asal çarpanlarının toplamı: $3 + 5 = 8$'dir.
   • C Kolisi (49 Paket): Yalnızca tek bir asal çarpana (7) sahiptir ($49 = 7^2$). Farklı asal çarpanlarının toplamı: 7'dir.

   Önemli Çıkarım: Bir sayının büyüklüğü, asal çarpan sayısının fazla olacağı anlamına gelmez. Örneğin 64 sayısı 42'den büyük olmasına rağmen yalnızca 2 asal çarpanına sahiptir ($64 = 2^6$). Sayıların asal çarpanlarını belirlerken ezbere değil, bölen listesi veya çarpan ağacı temsiline başvurulmalıdır.

3. Bölünebilme Kriterlerinin Mantığı

   Bir sayıyı uzun bölme işlemi yapmadan belirli sayılara kalansız bölüp bölemeyeceğimizi basamak çözümlemesi ve veri analizi ile kanıtlayabiliriz.

   Bir doğal sayıyı çözümlediğimizde onlar, yüzler ve binler basamaklarının her biri 10 sayısının katıdır. 10 sayısı 2 ve 5 sayılarına kalansız bölündüğü için onlar ve daha büyük basamaklar her zaman 2, 5 ve 10 ile kalansız bölünür. Bu nedenle geriye kalan tek değişken birler basamağıdır.

   • 2 ile Bölünebilme: Birler basamağındaki rakam çift (0, 2, 4, 6, 8) olan sayılar 2 ile kalansız bölünür.
   • 5 ile Bölünebilme: Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile kalansız bölünür.
   • 10 ile Bölünebilme: Hem 2 hem de 5 ile bölünebilen, yani birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile kalansız bölünür.

   Basamak Değerlerinden Kural Çıkarımı

   Farklı bölenleri test ettiğimizde basamakların davranışları farklı kurallar ortaya koyar:

   4 ile Bölünebilme

   100 sayısı 4’e kalansız bölünür ($100 = 4 \\times 25$). Bu nedenle yüzler ve daha büyük tüm basamaklar 4’ün tam katıdır. Bir sayının 4 ile kalansız bölünebilmesi için yalnızca son iki basamağının (onlar ve birler basamağı) 00 veya 4’ün katı olması yeterlidir.

   3 ve 9 ile Bölünebilme

   10, 100, 1000 gibi basamak değerleri incelendiğinde her birinin 9 veya 3’ün katından 1 fazla olduğu gözlemlenir:

   • $10 = 9 + 1$
   • $100 = 99 + 1$
   • $1000 = 999 + 1$

   Bu matematiksel kanıt gereğince bir sayının 3 veya 9 ile kalansız bölünebilmesi, o sayının rakamları toplamının sırasıyla 3’ün veya 9’un katı olmasına bağlıdır.

   Ortak Bölenlerden Çıkarım Yapma

   Bir sayının 6 ile kalansız bölünebilmesi için hem 2 hem de 3 ile aynı anda kalansız bölünebilmesi gerekir; çünkü $6 = 2 \\times 3$ bağıntısı vardır.

   Gözlem ve Değerlendirme Adımları

   1. 1. Koşul (Çift Sayı Kontrolü): Sayının birler basamağı incelenir. Rakam 0, 2, 4, 6 veya 8 değilse sayı 2’ye bölünmez, dolayısıyla 6’ya da bölünemez.
   2. 2. Koşul (3’ün Katı Kontrolü): Sayı çift ise rakamları toplanır. Toplam 3’ün katı ise sayı 3’e de tam bölünür.

   Bu iki bağımsız veriyi doğrulayan tüm doğal sayılar 6 ile kalansız bölünür. Bu yöntem, bölme işlemi yapmadan veriye dayalı kesin sonuca ulaşmamızı sağlar.

4. Çarpan ve Bölen Kavramını Keşfetme

   Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen sayma sayılarına o sayının bölenleri veya çarpanları denir. Bir sayının çarpanlarını belirlemek, aynı zamanda o sayıyı farklı iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazabilmek anlamına gelir.

   Örneğin alanı 24 birimkare olan dikdörtgensel bir bahçenin kenar uzunluklarını inceleyelim:

   • 1 ve 24 birim ($1 \\times 24 = 24$)
   • 2 ve 12 birim ($2 \\times 12 = 24$)
   • 3 ve 8 birim ($3 \\times 8 = 24$)
   • 4 ve 6 birim ($4 \\times 6 = 24$)

   Bu durumda 24 sayısının çarpanları küçükten büyüğe 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 olur. Buradan hareketle şu temel sonuca ulaşırız: Bir doğal sayının çarpanları sonlu sayıdadır; en küçük çarpanı daima 1, en büyük çarpanı ise sayının kendisidir.

   Çarpanlar ve Katlar Arasındaki Fark

   Bir sayının çarpanları sınırlı sayıda iken, o sayının belirli bir kural ile ardışık olarak büyüyen katları sınırsız biçimde ilerletilebilir.

   Aşağıdaki tabloda 12 ve 18 sayılarının çarpanları ile ilk beş katı karşılaştırılmıştır:

   • 12 Sayısı: Çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (Toplam 6 adet) | İlk 5 Katı: 12, 24, 36, 48, 60...
   • 18 Sayısı: Çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (Toplam 6 adet) | İlk 5 Katı: 18, 36, 54, 72, 90...

   Tablodaki veriler incelendiğinde:

   • Her doğal sayı kendi katlarının bir çarpanıdır.
   • Bir sayının katları sayının kendisiyle başlar ve sayının kendisi kadar artarak sonsuza kadar devam ettirilebilir.
   • İki farklı sayının ortak çarpanları bulunabildiği gibi ortak katları da belirlenebilir. Örneğin 12 ve 18 sayılarının ortak çarpanları 1, 2, 3 ve 6 iken, en küçük ortak katları 36'dır.

   Varsayımları Doğrulama ve Problem Çözme

   Çarpan ve kat ilişkilerine yönelik ulaştığımız genellemeleri matematiksel problemlerde birer kanıt olarak kullanabiliriz.

   Örnek Muhakeme Durumu

   Alanı 36 santimetrekare olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları birer doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun alabileceği en büyük ve en küçük değeri bulmak için çarpan çiftlerini listeleyelim:

   1. $1 \\times 36 \rightarrow \\text{Çevre} = 2 \\times (1 + 36) = 74\\text{ cm}$
   2. $2 \\times 18 \rightarrow \\text{Çevre} = 2 \\times (2 + 18) = 40\\text{ cm}$
   3. $3 \\times 12 \rightarrow \\text{Çevre} = 2 \\times (3 + 12) = 30\\text{ cm}$
   4. $4 \\times 9 \rightarrow \\text{Çevre} = 2 \\times (4 + 9) = 26\\text{ cm}$
   5. $6 \\times 6 \rightarrow \\text{Çevre} = 2 \\times (6 + 6) = 24\\text{ cm}$

   Çıkarım: Kenar uzunlukları arasındaki fark arttıkça çevre en büyük değerine (74 cm), kenar uzunlukları birbirine en yakın seçildiğinde ise çevre en küçük değerine (24 cm) ulaşır. Bu muhakeme kuralı, alanı verilen tüm dikdörtgensel problemlerde geçerli pratik bir stratejidir.