Cebirsel İfadeler Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Algoritma Nedir ve Matematikle Nasıl Bağ Kurar?

   Bir problemi çözmek veya belirli bir sonuca ulaşmak için adım adım izlenen sıralı işlem basamaklarına algoritma denir. Matematikte algoritmalar, bir sayısal girdi alıp bu girdiye belirli işlemler uygulayarak çıktı üretir.

   Girdiğimiz ve değeri duruma göre değişebilen sayıları temsil etmek için bir harf ya da sembol (değişken) kullanırız. Örneğin girdimiz n olsun:

   • 1. Adım: Bir n doğal sayısı belirle.
   • 2. Adım: Bu sayıyı 3 ile çarp.
   • 3. Adım: Bulduğun sonuca 4 ekle.
   • 4. Adım: Sonucu ekrana yazdır.

   Bu adımlar dizisi, her n değeri için belirli bir kural doğrultusunda çıktı veren bir algoritmadır.

   Girdi ve Çıktı Değerlerini Tabloda İnceleme

   Bir algoritmanın ürettiği sonuçları daha rahat görebilmek ve aralarındaki düzeni fark edebilmek için girdi-çıktı tablosu kullanılır.

   Önceki bölümde verilen adımları farklı girdiler için uygulayalım:

   • Girdi (n) = 1 için Çıktı: $3 \cdot 1 + 4 = 7$
   • Girdi (n) = 2 için Çıktı: $3 \cdot 2 + 4 = 10$
   • Girdi (n) = 3 için Çıktı: $3 \cdot 3 + 4 = 13$
   • Girdi (n) = 4 için Çıktı: $3 \cdot 4 + 4 = 16$

   Elde edilen değerler incelendiğinde, girdi her 1 arttığında çıktının 3 arttığı görülür. Tablo temsili, algoritmada gizli olan artış veya azalış miktarını somutlaştırır.

   Algoritmanın Kuralını Cebirsel Olarak İfade Etme

   Algoritmanın her adımda yaptığı işlemleri genel bir kural hâline getirdiğimizde cebirsel ifadeye ulaşırız.

   İncelenen algoritmada n sayısı önce 3 ile çarpılmış, ardından 4 eklenmiştir. Dolayısıyla bu algoritmanın cebirsel kuralı $3n + 4$ olur.

   Bu kuralın içerdiği matematiksel ilişki sözel olarak şu şekilde açıklanır:

   • "Çıktı, girilen sayının 3 katının 4 fazlasına eşittir."

   Algoritmanın adımlarını, tablodaki sayısal örüntüyü ve cebirsel ifadeyi birbiriyle eşleştirebilmek; algoritmik problemleri hızlı ve doğru çözmemizi sağlar.

2. Örüntü Nedir?

   Belirli bir kuralı takip eden sayı veya şekil dizilerine örüntü denir. Bir örüntüde yer alan her bir sayıya ya da şeklin bulunduğu sıraya adım (terim) adı verilir.

   Örüntülerdeki düzeni fark etmenin en etkili yollarından biri verileri bir tablo hâlinde düzenlemektir. Tablo, adım sayısı ile o adımdaki değer arasındaki ilişkiyi açıkça görmemizi sağlar.

   Örnek Tablo İncelemesi:

   • 1. Adım: 5
   • 2. Adım: 9
   • 3. Adım: 13
   • 4. Adım: 17

   Bu örüntüde her adımda terimlerin dörder dörder arttığı görülmektedir. Adım sayısı birer birer artarken değerler dörder artış göstermektedir.

   Örüntünün Kuralını Bulma

   Bir örüntünün herhangi bir adımındaki sayıyı tek tek saymadan bulabilmek için örüntüyü cebirsel ifade ile gösteririz. Adım sayısını temsil etmek üzere genellikle n harfi (değişken) kullanılır.

   Sabit artış gösteren sayı örüntülerinde genel kural belirlenirken şu adımlar izlenir:

   1. Artış miktarı belirlenir: Artış miktarı, adım sayısı olan n değişkeninin katsayısı olarak yazılır. Artış miktarı 4 ise kural 4n ile başlar.
   2. İlk terim kontrol edilir: 1. adım için n = 1 değeri yazılır. 4 x 1 = 4 olur. İlk terimin 5 olması için bu çarpıma 1 eklenmelidir (4 + 1 = 5).
   3. Genel kural yazılır: Örüntünün kuralı 4n + 1 olarak ifade edilir.

   Çokgenlerde İç Açı Örüntüsü

   Geometrik şekiller arasındaki ilişkiler de örüntü oluşturur. Bir çokgenin kenar sayısı ile iç açılarının ölçüleri toplamı arasındaki ilişki bu duruma temel bir örnektir:

   • Üçgen (3 kenar): 1 üçgen oluşur, iç açılar toplamı 180 derecedir.
   • Dörtgen (4 kenar): Bir köşeden çizilen köşegenle 2 üçgen oluşur, iç açılar toplamı 2 x 180 = 360 derecedir.
   • Beşgen (5 kenar): Bir köşeden çizilen köşegenlerle 3 üçgen oluşur, iç açılar toplamı 3 x 180 = 540 derecedir.

   Kenar sayısı n olan bir çokgende, bir köşeden çizilen köşegenlerle (n - 2) adet üçgen oluşur. Buradan yola çıkarak iç açılar toplamının genel kuralı (n - 2) x 180° olarak modellenir.

   Genel Kuralı Kullanarak Değer Bulma

   Cebirsel kuralı belirlenen bir örüntüde, kuraldaki değişkenin yerine istenen adım sayısı yazılarak o adımdaki terim kolayca hesaplanır.

   Uygulama: Kuralı 4n + 1 olan bir örüntünün 20. adımındaki sayıyı bulalım.

   • İstenen adım: n = 20
   • Kuralda yerine yazma: 4 x 20 + 1
   • Sonuç: 80 + 1 = 81

   Aynı şekilde, iç açılar toplamı kuralı olan (n - 2) x 180° ifadesinde n = 8 yazılarak sekizgenin iç açıları toplamının 6 x 180° = 1080° olduğu doğrudan bulunabilir.

3. Değişen Nicelikleri Fark Etme

   Günlük yaşantımızda bazı durumlar sabit kalırken bazı durumlar duruma veya zamana bağlı olarak sürekli değişir. Örneğin bir sokak hayvanları barınağına yapılan mama bağışlarını düşünelim. Her gün barınağa eşit miktarda mama bağışı yapıldığında, geçen gün sayısı arttıkça toplanan toplam mama miktarı da düzenli bir şekilde artar.

   Bir nicelikteki değişimin diğer niceliği nasıl etkilediğini incelemenin en düzenli yolu tablo temsili kullanmaktır.

   Örnek Durum: Barınak İçin Mama Kumbarası

   Bir okul kulübü, barınaktaki hayvanların bakımına destek olmak amacıyla her gün kumbaraya 15 TL tasarruf parası atmaktadır. Gün sayısı ile biriken toplam para arasındaki ilişkiyi inceleyelim:

   • 1. günün sonunda: 15 TL
   • 2. günün sonunda: 15 + 15 = 30 TL (2 × 15 TL)
   • 3. günün sonunda: 15 + 15 + 15 = 45 TL (3 × 15 TL)
   • 4. günün sonunda: 60 TL (4 × 15 TL)

   Bu tabloda gün sayısı bilinen adımlarla ilerlerken, toplanan para miktarı gün sayısının 15 katı olacak şekilde belirlenir. Burada gün sayısı değiştikçe biriken para miktarı da buna bağlı olarak değişmektedir.

   Değişken Kavramı Nedir?

   Tabloda gün sayısını tek tek yazmak yerine, 'herhangi bir gün sayısı' için genel bir kural oluşturabiliriz. Henüz kaçıncı gün olduğunu tam olarak bilmediğimiz ya da farklı değerler alabilen bu nicelikleri belirtmek için harfler veya semboller kullanırız. Bu harflere değişken (bilinmeyen) denir.

   Önceki örneğimizde gün sayısını g harfi ile gösterirsek:

   • g gün sonra kumbarada biriken para: 15 × g veya kısaca 15g TL olur.

   İçinde en az bir değişken ve en az bir işlem bulunan bu tür ifadelere cebirsel ifade adı verilir.

   Cebirsel İfadenin Parçaları

   • Terim: Bir cebirsel ifadede toplama veya çıkarma işaretleriyle ayrılan her bir bölümdür. Örneğin 3x + 7 ifadesinde 3x ve 7 birer terimdir.
   • Katsayı: Değişkenin önünde çarpım durumunda bulunan sayıdır. 15g ifadesinde katsayı 15'tir.
   • Sabit Terim: Yanında değişken bulunmayan, değeri değişmeyen sayısal terimdir. Örneğin kumbarada başlangıçta 20 TL olsaydı ve her gün 15 TL eklenseydi ifade 15g + 20 olurdu. Buradaki 20 sayısı sabit terimdir.

   Farklı Gösterimler, Aynı Anlam: Denk İfadeler

   Bir durumu ifade ederken kurduğumuz cebirsel ifadeler farklı biçimlerde yazılabilir. Değişkenin alacağı her değer için aynı sonucu veren ifadelere denk ifadeler denir.

   Örneğin bir fidan dikme etkinliğinde 4 arkadaşın her biri eşit sayıda fidan dikmiştir. Her birinin diktiği fidan sayısı a olsun:

   • Toplam fidan sayısı doğrudan 4a olarak yazılabilir.
   • Aynı durum her arkadaşın diktiği miktar toplanarak a + a + a + a şeklinde gösterilebilir.
   • İkişerli gruplanarak 2a + 2a ya da a + 3a olarak da ifade edilebilir.

   Bu ifadelerin tümü birbirine denktir çünkü aynı gerçek durumu temsil ederler.

   Nicelikler Arasında Tersine Düşünme

   İki nicelik arasındaki ilişkiyi tek bir yönden değil, tersinden de muhakeme edebiliriz:

   Deniz'in kitaplarının sayısı, Ece'nin kitaplarının sayısından 6 fazladır.

   • Ece'nin kitap sayısını k olarak kabul edersek, Deniz'in kitap sayısı k + 6 olur.
   • Tersine düşünürsek; Deniz'in kitap sayısını m olarak kabul ettiğimizde, Ece'nin kitap sayısı Deniz'inkinden 6 eksik olacağı için m - 6 şeklinde ifade edilir.

   Burada değişkenin neyi temsil ettiğini açıkça tanımlamak, kurulan ilişkinin doğruluğu açısından temel esastır.

   Cebirsel İfadeleri Yorumlama ve Genelleme

   Cebirsel ifadeler yalnızca sayılar ve harflerden ibaret değildir; her biri gerçek yaşamdaki bir ilişkiyi ve kuralı geneller.

   Sözel Durumdan Cebirsel İfadeye

   • Bir sayının 4 katının 3 fazlası: 4x + 3
   • Bir sayının 5 eksiğinin yarısı: (y - 5) / 2
   • Tanesi 8 TL olan defterlerden n tane alıp kırtasiyeye 50 TL veren birinin alacağı para üstü: 50 - 8n

   Cebirsel İfadeden Sözel Duruma

   Verilen bir cebirsel ifadeye uygun farklı yaşam senaryoları türetebiliriz. Örneğin 2x + 10 ifadesi şu durumların tamamını doğru şekilde modeller:

   • Kenar uzunluğu x cm olan iki eş kare ile uzunluğu 10 cm olan bir çubuğun uç uca eklenmesiyle oluşan toplam uzunluk,
   • Giriş ücreti 10 TL olan bir müzeye bilet alan bir veli ile bilet fiyatı x TL olan iki öğrencinin ödediği toplam ücret,
   • İçinde 10 litre su bulunan bir depoya her dakikada 2 litre su akıtan musluğun x dakika sonra depoda oluşturduğu toplam su miktarı.

   Görüldüğü gibi cebirsel ifadeler, değişen durumlar karşısında genel çözümler üretmemizi ve ilişkileri akılcı biçimde incelememizi sağlar.