Cebirsel Düşünme Konu Anlatımı

Konu anlatımı notları

1. Algoritma Nedir?

   Bir problemi çözmek ya da belirli bir hedefe ulaşmak için izlenen sıralı, açık ve sonlu adımlar bütününe algoritma denir. Günlük yaşamda bir yemeğin tarifinden bilgisayarda çalışan programlara kadar pek çok süreç algoritma mantığıyla işler.

   Algoritmaların İfade Edilme Yolları

   Algoritmalar genellikle üç farklı yöntemle ifade edilir:

   • Doğal Dil: Günlük konuşma diliyle adımların sırayla yazılmasıdır.
   • Sözde Kod (Pseudo-code): Programlama dillerine yakın; başla, gir, hesapla, yazdır ve bitir gibi temel komutlarla kurulan yalın ifadelerdir.
   • Akış Şeması: Adımların ve karar anlarının geometrik şekillerle görselleştirilmesidir.

   İşlemlerin Adım Adım İncelenmesi

   Temel aritmetik işlemler de belirli algoritmik yapılar barındırır. Örneğin bir bölme işlemi, bölen sayının bölünen sayıdan art arda çıkarılması temeline dayanır.

   Sözde Kod Örneği: Tekrarlı Çıkarma ile Bölme

   Bir sayının başka bir sayıya bölümünü hesaplayan algoritma şu adımlarla ifade edilebilir:

   1. 1. Adım: Başla.
   2. 2. Adım: Bölünen ve Bölen değerlerini gir.
   3. 3. Adım: Bölüm sayacını 0 olarak belirle.
   4. 4. Adım: Eğer Bölünen, Bölen'den küçükse 7. Adım'a git.
   5. 5. Adım: Bölünen değerinden Bölen'i çıkar, Bölüm sayacını 1 artır.
   6. 6. Adım: 4. Adım'a dön (döngü).
   7. 7. Adım: Bölüm ve Kalan (mevcut Bölünen) değerlerini yazdır.
   8. 8. Adım: Bitir.

   Bu algoritmada 4, 5 ve 6. adımlar arasındaki tekrarlanan yapıya döngü adı verilir.

   İzleme Tablosu ile Değerleri Takip Etme

   Algoritmaların her adımında değişkenlerin aldığı değerleri tablo üzerinde adım adım göstermek, matematiksel ilişkiyi görmeyi kolaylaştırır.

   Örnek İnceleme: 14'ün 3'e Bölünmesi

   Bölünen = 14 ve Bölen = 3 olarak girildiğinde algoritmanın adımları tabloda şöyle izlenir:

   • Başlangıç: Bölünen = 14, Bölen = 3, Bölüm = 0
   • 1. Tekrar: Bölünen = 14 - 3 = 11, Bölüm = 1 (11 ≥ 3, devam)
   • 2. Tekrar: Bölünen = 11 - 3 = 8, Bölüm = 2 (8 ≥ 3, devam)
   • 3. Tekrar: Bölünen = 8 - 3 = 5, Bölüm = 3 (5 ≥ 3, devam)
   • 4. Tekrar: Bölünen = 5 - 3 = 2, Bölüm = 4 (2 < 3, döngü sonlanır)
   • Sonuç: Bölüm = 4, Kalan = 2

   Matematiksel Çıkarım: Algoritma, 14 sayısının içinde kaç adet 3 olduğunu tekrarlı çıkarma yaparak bulmuş ve kalan miktarı belirlemiştir. Bu durum $14 = (4 \times 3) + 2$ eşitliği ile doğrulanır.

2. Sayı Örüntülerinde Düzen ve Değişim

   Belirli bir kurala göre düzenli olarak artan ya da azalan sayı dizilerine sayı örüntüsü denir. Bir örüntüdeki her bir sayıya ise terim veya adım adı verilir.

   Bir örüntünün kuralını anlamak için ilk olarak ardışık adımlar arasındaki farkı belirleriz. Örneğin kumbarasına her gün düzenli olarak para atan bir öğrencinin birikim tablosunu inceleyelim:

   • 1. Gün (1. Adım): 5 TL
   • 2. Gün (2. Adım): 9 TL
   • 3. Gün (3. Adım): 13 TL
   • 4. Gün (4. Adım): 17 TL

   Adımlar arasındaki farkı incelediğimizde: 9 - 5 = 4, 13 - 9 = 4, 17 - 13 = 4 olduğunu görürüz. Bu örüntünün sabit artış miktarı 4'tür.

   Varsayımda Bulunma ve Kanıtla Test Etme

   Örüntüde ileri bir adımı (örneğin 20. veya 50. adımı) bulmak için her adımı tek tek yazmak yerine adım sayısı ile terim arasındaki matematiksel ilişkiyi keşfederiz. Bu aşamada önce bir varsayım öne süreriz.

   Bir önceki örneğimizde artış miktarı 4 idi. Şöyle bir varsayımda bulunalım:

   "Her adımın değeri, adım sayısı ile 4'ün çarpımına eşittir."

   Şimdi bu varsayımımızı tablodaki verilerle sınayalım:

   • 1. Adım için sınama: 1 × 4 = 4 (Oysa tablodaki gerçek değer 5 idi. Varsayımımız 1 eksik kaldı.)
   • 2. Adım için sınama: 2 × 4 = 8 (Tablodaki gerçek değer 9 idi. Yine 1 eksik kaldı.)

   Elde ettiğimiz kanıtlara göre ilk varsayımımız sonuca tam ulaştırmamıştır. Ancak her adımda sonucun 1 eksik çıktığını fark etmek, doğru kurala ulaşmamızı sağlar.

   Genellemeye Ulaşma ve İki İşlemli Kurallar

   Yaptığımız sınama sonucunda gördük ki her adım sayısını 4 ile çarpıp 1 eklediğimizde gerçek terim değerine ulaşmaktayız:

   • 1. Adım: (1 × 4) + 1 = 5
   • 2. Adım: (2 × 4) + 1 = 9
   • 3. Adım: (3 × 4) + 1 = 13
   • 4. Adım: (4 × 4) + 1 = 17

   Bu doğrulama ile genel kuralımızı sözel olarak şöyle ifade ederiz:

   Kural: "Adım sayısının 4 katının 1 fazlası."

   Bu kuralı sembolik olarak ifade etmek istersek, adım sayısını kutu veya sembol ile gösterip kuralı (Adım Sayısı × 4) + 1 şeklinde yazabiliriz.

   Büyük Adımları Kolayca Hesaplama

   Doğruladığımız kural bize büyük adımlardaki değerleri tek tek saymadan, doğrudan hesaplama kolaylığı sağlar. Bu durum matematiksel kuralın kullanışlılığını ve pratikliğini gösterir.

   Örneğin bu birikim örüntüsünün 30. günündeki toplam para miktarını bulalım:

   • 30. adımın değeri = (30 × 4) + 1
   • 30 × 4 = 120
   • 120 + 1 = 121 TL

   Görüldüğü gibi sabit artış miktarını adım sayısıyla ilişkilendirip gerekli ekleme veya çıkarmayı belirlemek, her türlü sabit artışlı sayı ve şekil örüntüsünü kolayca çözmemizi sağlar.

3. Hesaplamalarda Ortak Bir Kural

   Günlük hayatta ve matematikte birden fazla işlemin bir arada bulunduğu durumlarla sıkça karşılaşırız. Aynı sayı cümlesinde farklı sıralarla işlem yapmak, kişilerin farklı sonuçlara ulaşmasına neden olabilir. Karışıklığı önlemek ve herkesin aynı doğru sonuca ulaşmasını sağlamak amacıyla işlem önceliği kuralları belirlenmiştir.

   Bir hesaplama yapılırken işlemler soldan sağa gelişigüzel değil, belirli bir öncelik sırasına göre tamamlanır.

   Takip Edilmesi Gereken Sıra

   Bir matematiksel ifadede işlemler şu sırayla uygulanır:

   1. Üslü İfadeler: Varsa önce bir doğal sayının karesi veya küpü hesaplanır.
   2. Parantez İçi: Parantez içindeki işlemler tamamlanır.
   3. Çarpma ve Bölme: Çarpma ile bölme aynı önceliğe sahiptir; ikisi bir aradaysa işlem soldan sağa doğru yapılır.
   4. Toplama ve Çıkarma: Toplama ile çıkarma aynı önceliğe sahiptir; ikisi bir aradaysa işlem soldan sağa doğru yürütülür.

   Günlük Hayat Durumunu Modelleme

   Bir kırtasiyeden tanesi 8 TL olan defterlerden 3 adet ve tanesi 5 TL olan kalemlerden 2 adet alan bir öğrencinin ödeyeceği toplam tutarı belirleyelim.

   Bu durum şu sayı cümlesi ile gösterilir:

   3 × 8 + 2 × 5

   İşlem önceliğine göre önce çarpma işlemleri yapılır:

   • 3 × 8 = 24
   • 2 × 5 = 10

   Son olarak toplama işlemi tamamlanır:

   24 + 10 = 34 TL

   Adım Adım Çözüm

   Aşağıdaki sayı cümlesinin sonucunu işlem önceliğine göre belirleyelim:

   $2^3$ + (15 - 3 × 4)

   Çözüm adımları:

   1. Üslü ifade: $2^3$ = 2 × 2 × 2 = 8
   2. Parantez içi: Parantez içinde çıkarma ve çarpma vardır. Önce çarpma yapılır: 3 × 4 = 12. Ardından çıkarma tamamlanır: 15 - 12 = 3.
   3. Kalan toplama işlemi: 8 + 3 = 11

   İşlem önceliğine dikkat edilmediğinde parantez içi veya üslü ifadeler hatalı yorumlanabilir ve yanlış sonuca varılır. Bu nedenle her adım gerekçesiyle kontrol edilmelidir.

4. Eşitlik Bir Dengedir

   Matematikte eşit işareti (=), iki tarafındaki sayı cümlelerinin aynı değere sahip olduğunu ve bir dengede bulunduğunu gösterir. Bu dengeyi iki kefesi eşit hizada duran bir teraziye benzetebiliriz.

   Eşitliğin bozulmaması için uygulanan temel ilkeler şunlardır:

   • Aynı Sayıyı Ekleme veya Çıkarma: Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde veya her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitlik korunur.
     Örneğin; $12 + 8 = 20$ ifadesinde her iki tarafa 5 eklersek $12 + 8 + 5 = 20 + 5$ eşitliği doğru kalmaya devam eder.
   • Aynı Sayıyla Çarpma veya Bölme: Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile çarpıldığında ya da aynı sayıya bölündüğünde denge bozulmaz.
     Örneğin; $15 - 5 = 10$ ifadesinde her iki tarafı 3 ile çarparsak $(15 - 5) \times 3 = 10 \times 3$ eşitliği sağlanır.

   İşlem Özelliklerini Keşfedelim

   Hesaplama yapmadan sayı cümlelerini incelediğimizde bazı temel işlem özelliklerini fark ederiz:

   1. Değişme Özelliği

   Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.

   • Toplama: $14 + 27 = 27 + 14$
   • Çarpma: $6 \times 15 = 15 \times 6$

   2. Birleşme Özelliği

   Üç veya daha fazla sayı toplanırken ya da çarpılırken sayıların farklı şekillerde gruplandırılması sonucu etkilemez.

   • Toplama: $(18 + 25) + 35 = 18 + (25 + 35)$
   • Çarpma: $(4 \times 12) \times 25 = 4 \times (12 \times 25)$

   Not: Çarpma işleminde sayıları kolay çarpılabilecek şekilde birleştirmek zihinden işlem yapmayı kolaylaştırır.

   Parçalara Ayırarak Çarpma

   Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği, çarpanlardan birini iki sayının toplamı veya farkı şeklinde yazarak işlem yapmamızı sağlar.

   Toplama Üzerine Dağılma

   Bir çarpanı iki parçaya ayırıp her parçayı ayrı ayrı çarparak toplayabiliriz:

   $8 \times 24 = 8 \times (20 + 4) = (8 \times 20) + (8 \times 4)$

   Çıkarma Üzerine Dağılma

   Bir çarpanı iki sayının farkı olarak ifade edip çarpımı çıkarma işlemiyle bulabiliriz:

   $7 \times 19 = 7 \times (20 - 1) = (7 \times 20) - (7 \times 1)$

   Bu özellik, özellikle zihinden çarpma işlemlerinde büyük kolaylık sağlar ve eşitliğin her iki tarafının birbirine denk olduğunu kanıtlar.

   Eşitlikleri Kanıtlarıyla İnceleme

   Aşağıdaki tabloda verilen sayı cümlelerini hesaplama yapmadan işlem özellikleri yönünden inceleyelim:

   • Durum 1: $25 \times (40 + 8) = (25 \times 40) + (25 \times 8)$
     Gerekçe: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği doğru uygulanmıştır. Eşitlik korunur.
   • Durum 2: $(34 + 16) + 19 = 34 + (16 + 19)$
     Gerekçe: Toplama işleminin birleşme özelliği kullanılmıştır. Terimlerin gruplanma biçimi değişse de eşitlik bozulmaz.
   • Durum 3: $45 \times 12 = (45 \times 10) + 2$
     Gerekçe: 12 sayısı $10 + 2$ olarak ayrılmış ancak 45 çarpanı 2 ile çarpılmamıştır. Dağılma özelliği eksik uygulandığı için eşitlik korunmaz.

   Bir eşitliğin doğruluğunu değerlendirirken işlem sonucunu hesaplamak yerine, uygulanan matematiksel kuralı ve eşitliğin iki tarafındaki ilişkileri gerekçelendirmek esastır.